COS

On aura dabord pour le point /(en supposant toujours// <//-»),

di=f-c,

cjue Ton déduit de la formule (3) di' — ^ — /', en renversant l'ordre des soustractions (cette inversion étant due à ce que, le point/' auquel se rapportait la formule (3) étant situé dans la concavité comme le point actuel/, on avait pour ce point /'rt>/'^, tandis qu'on suppose actuellement fa < fh). On peut l'écrire

Quant au point/',

1°. Si ce point est situé dans la convexité de la courbe , on aura d'abord

di'=-[c+f'),

que , pour des raisons semblables , on déduit de la relation ( 2 ) en y changeant le signe de di\ et enfin en remarquant que r' est négatif,

(3') .//--.(.+/') = -. A ri£^

^8 DES iMÉTHODES EX GÉO.MËTRIE.

%°. Si le point/' est au contraire dans la concavité de la courbe, il sera placé de la même manière que le point ./' auquel se rapporte la formule (2'); et, en remarquant (pie /■' est devenu positif, on retrouvera encore la formule (3').

Enfin, si l'on substitue dans la relation (i) les valeurs de <-//, di' données par les formules (2'), (3'), on retrouve évidemment la formule (I) qui s'applique, par conséquent, à tous les cas.

Il résulte immédiatement d'ailleurs des conventions déjà faites sur les signes de r, r', que, si la résolution de l'équation (1) fournit pour r' une valeur positive ou négative, le point cherché /"' sera situé sur la portion du rayon réfracté qui tombe dans la concavité de la courbe , ou , au contraire, sur son prolongement.

Corollaire. — Si l'on remplace dans la formule ( I ) n par — i , et /' par /, on obtient la formule analogue pour les caustiques par réflexion