II - z= cos

et l'on pourra, au moyen de cette formule, déterminer /•', si p et /• sont connus ; ou , suivant une observation de Jean BernouUi , p lui-même , si r, /•' sont connus , ainsi que cela arrive pour l'ellipse rapportée à ses foyers.

4 . Définition et construction des caustif{iies secondaires de M. Quetelet. — Des ovales de Descartes.

La détermination de la caustique par réfraction, c'est-à-dire du lieu géométrique des points d'intersection de deux rayons réfractés successifs, qui sont définis isolément par la formule précédente , présente en généra! de grandes difficultés. Or on peut fréquemment les éviter d'une manière très-heureuse , en substituant à la recherche de la caustique la recherche de l'une de ses développantes , puisqu'il est évident d'ailleurs que la connaissance de celle-ci suffit à la définition géométrique de la caustique ellemême. L'auteur de cette ingénieuse substitution , M. Quetelet, a donné à la développante de la caustique principale le nom de caustique secondaire , et voici , d'après ce géomètre , la construction générale de cette dernière.

Que du point lumineux f comme centre , on décrii'e une circonférence de rayon arhitrcdre , et que de cluique point a de lu ligne diri mante connue centre on décrive un cercle dont le rayon soit a la distimce de ce point à la circonférence f, dans le rappoj-t constant de i à n [n désignant l'indice de réfraction); l'enveloppe de tous les cercles ainsi obtenus sera In caustique secondaire.

Démonstration. — Il faut, pour établir cette construction, faire voir que les rayons réfractés sont normaux à l'enveloppe dont il s'agit, ou montrer, inversement, que les normales de l'enveloppe coïncident avec les rayons réfractés. Donc, si l'on observe qu'en général les normales à l'enveloppe sont aussi normak-s aux lignes enveloppées, il suffira d'établir que pour chacun des cercles considérés, a par exomjile. le rayon de ce cercle

SECONDE PARTIE. -yC)

qui iiboutit au point où il touche son enveloppe, est précisément le rayon

léiVacté correspondant au rayon incident eii a. Soient, à cet clVot, a et b les contres infiniment voisins de deux des

cercles considérés, F' un de leurs points d'intersection; joignons F'«, V'b\f(i^ fh\ posons /(•/ = A, F'o = R, et désignons par /, V les angles d'incidence et de réfraction en a, et par 1 la limite de l'angle que c/ F' fait avec la normale à la courbe dirimante en a.

Les triangles ./rt/v , Y nb donnent ces relations ,

d'où , en passant à la limi!

fa — //' — A/- := (tb cos /'■/, (ib ,

dr

-r ~ sin /:

ot, de même,

— j- = smi.

(Is

De là, en divisant memliro à membre, et observant qu'en \ertu de

la

construction

dr n

il \ient

sin/' = //.sin I,

et par suite 1 = /', C4i qui suffit à la démonstration.

CoiioM-AïuE. — Le théorème précédent conduit très-simplement à l'une des définitions géométriques des ovales de Descartes, c'est-à-dire des lignes qui ont la projmétc de réfracter vers un foyer donné f les rayons lumineux émanant d'un point donné. Car, si la ligne ab possède cette propriété, la caustique secondaire, qui est coupée à angles droits parles rayons réfractés, lesquels vont concourir en/', ne peut être qu'une circonférence ayant pour centre le point/'. Dès lors, le rayon de chacune des circonférences ayant pour centre l'un des points a de la ligne dirimante cherchée, est égal à la distance du point a à la circonférence /'. Mais, d'après la construction générale , ce même rayon est à la distance du même point a à une circonférence ayant pour centre le foyer / dans le rapport de I à //, Donc l'ovale cherchée est le lieu géométrique des points dont les distances à deux circonférences ayant pour centres le point lumineux / et le foyer /', sont dans la raison constante des nombres ;/ et i .

Observation. — Les droites /«, fa coupant en F, F' les circonférences /, /', si l'on mène les droites indéfinies FF', ff qui se coupent en o, le théorème de Ptolémée (l™ Partie, page i5), appliqué au triangle /«/'

coupé par la transversale FF'o, montre que le rapport ^, est constant, et

8o i>i:s .MÉTHODKS EX «éométhii:.

par suite ([ue o est un point fixe. Celle remarque' permet de con>truire très-simplement la tangente de lovale ob. Car si Ton conçoit que les peints fi, F, F' se déplaçant sur leurs courbes respectives, viennent occuper les positions c/, , F,, F',, on verra que les triangles «FF', <•/, F, F', sont tellement situés, que leurs côtés de mêmes noms concourent en trois points,/, f\ o situés en ligne droite. Donc, d'après un théorème connu , les droites joignant les sommets de mêmes noms des deux triangles concourent en un même point. Il en résulte enfin , en supposant que les points «, , F, F', se rapprochent indéfiniment des points a , F, F', que les tangentes en «, F, F' à lovale et aux deux circonférences, concourent en un même point. (On peut consulter sur ces courbes la Géométrie de Descartes; Paris, 4 7o5, page 86; les Opuscules de Newton, tome II, page 172, et enfin \ Aperçu historicfue de M. Clmsles, note 21 (*), d'où nous avons extrait la plupart des détails précédents. )

5. Expression du rayon de courbure cVunc roulette. Considérons la roulette engendrée par le point M , invariablement lié à la ligne A„A« qui roule sur la ligne fixe A„AA'.

Le point de contact actuel des deux lignes étant A , la droite AM est normale à la roulette au point M. Dans l'instant suivant. Tare très-petit A« de la ligne mobile s'enroulera sur l'arc égal AA' de la ligne fixe; le point M, décrivant l'arc MM', viendra en M', et la droite M'A' sera normale à la courbe en M'. Les deux normales infiniment voisines, MA, M'A' se coupant en un point C, la limite du point C, quand la seconde normale se rapproche indéfini- V ^ ment de la première, coïncide avec le point qu'on

appelle le centre de courbure de la roulette au \ point M, et la droite MC est le rayon de courbure

, ' A^ de la roulette en-vce point, dont nous nous propo-

sons de calculer l'expression.

Notation. — Nous appellerons R, R'ies rayons de courbure en A de la ligne fixe et de la ligne mobile; f/.v, c/t, les différentielles des arcs corres-

(") Au lieu de renvoyer à la note i\, il serait sans doute préférable d'indiquer le numéro de la page correspondante; malheureusement cela m'est impossible, et en voici la raison. L'ouvrage dont il s'agit, qui a paru en 1837, n'a été tiré qu'à un très-petit nombre d'exemplaires. Il est devenu depuis excessivement cher et beaucoup plus rare encore; et Ton peut dire que l'un des plus beaux monuments scientifiques qui aient été élevés à la gloire du passé , sert bien moins aujourd'hui & l'instruction des savants qu'aux spéculations des commissionnaires en librairie. 11 résulte de là cette conséquence étrange, j'allais dire absurde , que celui qui veutlii-e Y Aperçu historique, ouvrage écril en français et publié il y a moins de vingt ans, doit préalablement apprendre l'allemand et se procurer ensuite la traduclion, en cette langue, deM.lc professeur Sohncke (Halle, iSSg; librairie de Gebauer). C'est ce que j'ai fait personnellement, et cela explique qu'ayant sous les yeux ce dernier ouvrage , j'éprouve cependant quelque diffioulléà deviner la pagination du premier.

pondants ( tels que AA' et JVÏM' ) de la ligne fixe et de la roulette ; ?; la distance MA du point décrivant M au point de contact actuel do la ligne mobile sur la ligne fixe, et nous rcgardfrons r comme essentiellement jfositif; i, l'angle que fait la direction AM avec la portion de la normale en A à la ligne fixe qui est dirigée dans la concavité de celle-ci, de sorte que cos« sera jMsitif ou négatif suioant (jue le point décrivant M sera, par rapport à la tangente en A, du même côté que la ligne fixe, ou du côté opposé. Enfin, nous désignerons par p le rayon de courbure MC de la roulette, et nous regarderons p comme positif ou négatif, suivant que MC sera dirigée de M vers A , ou dans le sens opposé.

Cela posé, pour déterminer la position du point-limite C sur la droite AM, conformément au second cas de la méthode générale indiquée à la page 76, nous regarderons le mouvement de la droite AM comme défini par les mouvements simultanés dos points A et M ; et les deux triangles CAA', CMM' nous donneront

d'où