CM

hm.-^=,

cos? \R R'/

Toutefois, comme, d'après les conventions déjà faites, cos* peut être négatif; qu'il en est de même du facteur^ ± ^ dans le cas oii la ligne mobile roule sur la concavité de la ligne fixe , il faudra , dans les applications de la relation (A), faire précéder du signe — les facteurs :

et p ±: 57 quand ils se trouveront négatifs.

D'après cela , et en considérant cCabord le cas des roulettes extérieures y si l'on suppose le point décrivant M situé , par rapport à l'élément de contact A„A, du côté opposé à la ligne fixe, et le point C situé comme dans la figure précédente, a sera positif, CM et CA aiiront pour valeurs p et p— /■, et cos/ étant négatif, on devra écrire ainsi la formule (A) :

cosj' VR"^R'/'

82 DES 3IÉTH01>ES EX GÉOMÉTIUE.

OU. t'ii changeant les signes des deux membres,

'•(ïl+ir)

Si, au ooniraire, comme dans la ligure à côté, (m supj)Ose le point décri^anl M situé du même côté que la ligne li\e; 1(^ point C est toujours situé entre les points A et M ; p est positif, CM et CA ont pour valeurs p et /•— p, et ces/ étant posilir, on doit écrire la formule (A),

r=^ ~ '' ■ ("^ ■ VU ^ W'J

ce qui est encore la formule (I).

Si, passant au crts- (tes foulctlcs i/itericiircs , nous supposons ït > îp

le point décrivant du côté opposé à la courbe fixe et le point C situé comme dans la figure à côté; p sera négatif, CM et CA auront pour valeurs — p et ' — p, et cosi étant négatif, on devra écrire

cosi \\\ W)

ou , en changeant les signes des deux membres ,

P /(i"ïr)

Si , au contraire , le point décrivant étant du même côté que la ligne fixe, on suppose le point C situé comme dans

la figure i^'t ^<'j^; P ^'=^1 négatif, CM et CA

ont pour valeurs -- p et /•— p; et cos/ étant

positif, •!: — 4^ négatif, on doit écrire ainsi la

formule (A) :

r-p^ \l\ l\' J (OS/

et, en changeant les signes des deux membres, on retrouve encore la formule (1').

Les autres cas que l'on pourrait encore examiner conduiraient aux mêmes "ormulcs (I) ou (!'); et comme cette dernière ne diffère de la première cpie par le changement du signe de II', on voit (jue :

SE<:OXI)E PARTIE. 83

La formule (l) convient à tons les cas, pourvu qu'aux conventions initiales , sur les signes de p et de cos / , o/t ajoute celle-ci : que le rayon de courbure R' de la ligne mobile sera regardé comme positif ou négatif, suivant cfue cette ligne roulera sur la conve.vité ou sur la concavité de la ligne fixe.

Enfin 'a formule (I) étant 2;énérale, la suivante,

cos / I I

que l'on obtient en résolvant la prenaière pai' raj»j>ort à p , est également générale.

Scolie. — La formule (l) s'applique encore au problème qui a pour objet de déterminer le rayon de courbure de Cenvcloppe (Cune courbe donnée , invariablement liée à la ligne mobile et jxu-ticipant h son mouvement.

Conce\ons , en effet, que du point de contact actuel A on mène une normale kWm à la courbe donnée^ dont la position correspondante est connue : soit m le pied de cette normale et M le centre de courbure pour le point m. On sait, d'après le théorème de la page 70, que la droite /wMA est une première normale de la courbe-enveloppe. Dans l'instant suivant, l'arc ka de la ligne mobile s'enroulant sur l'arc égal AA' de la ligne fixe, le point M vient en M' en décrivant le petit arc MM' d'une roulette j)articulière; et l'on voit facilement que la droite A'M' peut être considérée comme normale à la courbe mobile dans sa nouvelle position ; cette droite A'M' représente donc une seconde normale de la courbe-enveloppe. I! résulte de là que le centre de courbure de V enveloppe , en un point ni de cette ligne , coïncide avec le centre de courbure en M de la roulette qui serait engendrée par le point M, centre de courbure en m de la courbe dont on considère Penveloppe.

Observation. — On trouve des formules éciuivalentes à celles qui précèdent dans XAmdyse des infiniment petits (section 9, prop. 4 )• On peut aussi consulter sur li; même; sujet des articles de MM. Abel Transon et Cliasles [Journal de Mathématiques, tome X, p. 148 et 'io4).

6. Construire par puints la développée de C ellipse plane , en prenant la propriété principale des jo) ers pour définition de la courbe.

De l'un des foyers F, comme centre, et avec un rayon égal à l'axe focal , décrivons une circonférence sur laquelle nous prendrons deux points trèsvoisins K et K' que nous joindrons [)ar des droites au foyer F et au foyer F'. Les droites FK et FK' rencontrati' l'ellipse en M, M', si nous menons par ces points des parallèles MC, M'C aux droites F'K, F'K', ces parallèles seront normales à la courbe en M , M', et la limite de leur point d'intersection C sera le point de la développée que nous i.ous proj)osons d? construire.

A cet effet nous remarquerons que la formule (l) du n' iO. appliquée

au triangle CMM'. donne 1 expression de p= lim.MC, par le rapport du

mouYement linéaire du point M au mouvement angulaire de la droite MC.

Or la formule (II) du même numéro, appliquée aux deux triangles F.M.M', FKK', fournit le rapport du mouvement linéaire du ])oint M à celui du point K ; tandis que la formule {I), appliquée au triangle F'KK', donne le rapport du mouvement angulaire de la droite F'K

et , par suite , de sa parallèle MC , au mouvement linéaire du point K. I! ne

reste plus dès lors qu'à composer ces rapports pour obtenir la formule

FM I 1 rr

o = lim.MC = F'K.

FK cos'- / ( /• + r' ) eus !

dans laquelle / désigne Tangle de la normale au point M a^ ec l'un ou l'autre des deux rayons vecteurs dont r, /•' désignent les longueurs. Enfin la normale au point M coupant l'axe focal en I , on trouve , sur la figure ,