MI
' cos- /' '
et cette formule conduit à la construction suivante :
Par le point I , où la normale ]MC coupe taxe focal, mener, parallèlement à la tangente en M , une droite IP terminée au rayon vecteur FM ; par le point P mener au rayon vecteur FM la pcipendiculaire PC. Cette droite va rencontrer la normale MC en un point qui appartient à la développée.
Observation. — Nous sommes entré dans quelques détails sur la manière de parvenir à cette construction, afin d'éclairer la route que nous suivrons dans la solution du problème suivant, qui présente plus de difficulté et qui nous conduira à une analogie nouvelle et remarquable entre les ellipses plane et sphérique.
7. Construire par points la développée de rdlipse sphérifjue. Nous entendons par là que par chaque point de l'ellipse sphérique on mène un arc de grand cercle normal à la courbe , et que l'on propose de construire le point où cet arc de grand cercle touche son enveloppe, celle-ci pouvant être appelée la développée sphérique de l'ellipse.
Lemme I. — Soient, dans un triangle sphérique //«/', mi et mu les arcs de grand cercle bissecteurs des angles intérieur et extérieur en /m, et soit abaissé l'arc de grand cercle /7? perpendiculaire sur l'arc bissecteur mu:
on aura la relation
(i tang///< = asin / // • -.- ,-/•--—?•» — V
Démonstration. — Soit, en effet, / le point d'intersection des arcs //// et f'h [)rolongés; on aura, à cause de l'égalité des ,,* angles en w/,
„»,''' ; mk=nif\
et, par suite ,
// —fm -^f m.
D'ailleurs l'égalité /'/= 2/'//, la considération du triangle///?// coupé par le grand cercle//'», et les doux triangles rectangles Il f'h, iiini fournissent ces relations :
sin/'/- = 2sin/7/.cos/7/, sin mit . sin /' // . sin ./'/. — sin //// . sin/' / . sin//// ,
• ; . -^ . /-/i sin.rA Bin /m . tang 11 = tang /'// = — -rrj-r ■ cosj n
tang //// = sin nui . tang //.
Ur, si l'on multiplie ces égalités membre à membre et que l'on siuiplilie, on obtient précisément la relation énoncée.
Lemme II. — Dans l'ellipse sphériqite , l'arc de grand cercle normal à la courbe en l'un de ses points , divise en deux parties égales l'angle des arcs de grand cercle cpd joignent ce point aux deux foyers.
Omettant la démonstration de ce lemme qui n'offre aucune difficulté, occupons-nous, en premier lieu, de construire deux arcs de grand cercle normaux à la courbe. Nous devrons, à cet effet, substituer à la projjriété de l'arc normal que l'on vient de rappeler une construction géométrique équivalente ; or, on aperçoit aisément que la sui^ ante satisfait à cette condition : du point/comme pôle , avec un rayon sphérique égal à fm -\-f'm., décrire un arc de petit cercle, sur lequel on prend deux points voisins /•, k'\ joindre (par des arcs de grand cercle) /X , fk' qui coupent l'ellipse en ;h, /?/'; joindre de même kf\ k'f et prendre sur leurs prolongements les arcs f n, f n' complémentaires des moitiés des arcs/'/-, /'/'; et mener enfin les arcs de grand cercle /??«, m' n' qui seront normaux à la courbe en /«, m'.
Les arcs normaux /////, ///'// se coupent en un point c, dont nous avons, en second lieu , à déterminer la position limite.
Nous mènerons, à cet effet, les arcs de grand cercle nn\ kk\ mm' , et l'arc tangent ndi qui est perpendiculaire à l'arc /'/• en son milieu //. Si nous supposons établi (ce que nous démontrerons rigoureusement à la fin), que Parc nn' est , à la limite , perpendiculaire à Carcmn, nous en déduirons (le point // étant le pôle de l'arc /////) , que la limite de l'angle/' ////'^est
mesuré par \in quadrant augmenté de l'arc nm. On a donc, en supprimant le mol limite, \w\\r abréger,
(a) SÏn f ' /i/i' — COSi/l/i.
D'ailleurs, en désignant par / l'angle/w/ -=/'////, on a
( p ) si n /' /. / ' = cos m/' h ,
( 7 ) sin fmnt ' = cos / ,
( ^ ) sin/// ' = sin nm' = sin c/nm' = i .
Tout cela posé , si Ton désigne par o, /•, /■' les arcs me, nif, nif'la comparaison des deux triangles emm', eun' donne (Fahord, en remarquant que les arcs em et en sont complémentaires, et en passant à la limite,
. '^ sin mm
sm e = — :
sin nn'
d'où
tan2;'>
En seeond lieu, la comparaison des triangles /'/?//', /'//'; l'égalité /'/■ = a/'A, jointe à cette remarque que les arcs /'A et/' /? sont complémentaires; et la considération du triangle rectangle/'/;///, fournissent ces trois relations
sin/' n cos /'//'// sin ////'
sin/' k cos mil sin/'/-
sin // ' = sin /'//,
2 sin/ // cos ///// . sin/' mil ou cos mh . cos / = cos mf h .
Multipliant C(^s égalités membre à membre, il vient, après simplification ,
, , cos? sin//«'
2 sin/'// sin/./'
En troisième lieu, on trouve, par la comparaison des triangles ///', //;////',
. o- sin//' sin//////' . ,. ,
sin/X
et do là, en passant à la limite.
sin /"/■
sin /'///'
sin //'
sin//// sin //////'
Enfin, si Ion uuilliplie membre à membre les égalités (i), (2) et (3), on
trouve définitivcmenl
