SE€OXDK PARI'IK

sin fil

lani2;p.cos'j = 2 sin fit. " . ' ,.. — tarii:'//»

en ayant égard à la formule (i) du lommo T. Or cette formule conduit à colle construction : Par le point de rencontre de F axe focal ff ' avec Parc nor- Wrt/mi, mener à ce dernier un arc per])endiculaire ip terminé h Parc fm ; par le jMÙnt j>, et perpendiculairement à Parc fm, mener Parc \\c, (/ui ira rencoiltrcr Paie normal mi prolongé ((u point c suivant lecpielcet arc touche la développée sphéricpic de Pellipse.

Renumpic. — La construction que nous venons de démontrer, comparée à celle de l'exemple précédent, établit une nouvelle et intime analoî!;i(' entre les deux ellipses plane et S[)hérique. Il serait intéressant de rechercher si la même construction s'a[)|>li(iucrait aussi, dans Vellipse s;éodési(jue tracé(> sur un(> surface^ (luelconque , à la détermination du [toint où chaque normale géodésique touche son enveloppe.

Observation. — Il reste à établir que l'arc de grand cercle ««'est, à la limite, perpendiculaire sur l'arc mn. Nous remarquerons pour cela que les anglesen w, ///' du triangle cmm' étant infiniment peu différents d'un droit, la dillérencc entre les arcs cm, cm' est un infiniment petit du second ordre : la dillérence entre les arcs complémentaires en, en' est donc du même ordre, et par suite les angles en «, n' du triangle cnn' sont infiniment peu différents l'un de l'autre, et chacun d'eux enfin dilfère infiniment peu d'un angle droit.

8. Co/istruire jxir points Venveloppe du côté libre tPun polyu,one de périmètre constant.

Soit/ le point d'intersection de deux positions infiniment Noisiiies ab et a'b' du côté libre. Les deux polygones abcd.. d, a' b'cd. . J étant isopérimètres, il vient, en négligeant les parties communes ,

ia' H- /// + (Ui' = ia + ib + bb' , OU

( i ) ( ia' — ia ) + aa' — ( ib — ib' )-\-bb'.

Supposons, comme cela arrive dans la ligure, c|ueles angles intéricnn-

f( et b du polygone soient aigus. Il résulte de cette hypothèse et de la [losition de a'b' par rapport à ab^ que les différences ia' — ia , ib — ib' sont |)0sitives; par suite, sil'on néglige les infiniment petits du second ordre, ces différences seront représentées , en grandeur et en signe, par aa'.cosa et par bb.co?. b , et la relation (i) deviendra

aa' { i -+• cos a) ^ bb' {\ ^ cos b ) .

sin a

in

tang

tang-

88 DES iMÉTHOOES EX GEOMETRIE.

D'ailleurs, la comparaison des triangles ihh\ iaa' fournil cette relation :

I \ l'l>' . , na'

(2) -TT-; • SI n /> = -:—;• sine/.

Il) Ul

Multipliant membre à membre les égalités (i'), (2) et passant à la limite, il vient