CHAPITRE III

lîu cercie oscuiateur.

42. Nous empruntons les principaux matériaux de ce chapitre au Traité des Fluxions de Maclaurin : dans ce grand ouvrage, que les immenses richesses géométriques qu'il renferme placent à côté du Livre des Principes, l'auteur donne sur le sujet qui va nous occuper un théorème général qu'il applique ensuite, d'une manière spéciale, à la détermination du cercle oscuiateur dans les sections coniques, quelles que soient d'ailleurs les données par lesquelles ces courbes se trouvent définies. . Comme résultat, il n"y avait rien à ajouter au chapitre de Maclaurin dont nous allons donner l'analyse : toutefois M. Ch. Dupin, reprenant la même question au commençexnénX Ù.Q SQS, Développements de Géométrie, l'a résolue par une méthode nouvelle et entièrement géométrique; nous reproduirons avec quelque détail l'élégiinte transformation (]u"il a employée à cet

effet, et qui permet de passer successivement de la courbure du cercle à celle de l'ellipse en l'un de ses sommets, et de cette dernière à la courbure de l'ellipse en l'un quelconque de ses points.

Nous donnerons eniin un théorème de Mac-CuUagh sur la comparaison des cercles osculateurs de deux lignes qui , construites sur le même axe , ont leurs ordonnées dans un rapport constant ; et nous terminerons par une construction géométrique fournissant, pour chaque point d'une courbe, la

valeur du rapport -j-i rapport que Newton appelle la qualité de la courbure en ce point.

43. Définition. — Considérons une courbe rapportée à sa tangente en un point 0, prise pour axe des .r, et à une droite quelconque passant par ce, point, prise pour axe des j ; de sorte que pour le point de contact 0 l'abscisse et l'ordonnée de la courbe sont nulles simultanément.

Soient x et j l'abscisse et l'ordonnée d'un point quelconque M de la courbe : si X tend vers zéro , le rapport de j à x tend vers zéro , ainsi que le montre le triangle MOP [voyez la figure suivante ) , dans lequel on a

MP j sinMOP OP~.r~sinOMP'

Il en résulte que l'ordonnée de la courbe correspondant à une abscisse infiniment petite du })remier ordre est elle-même un infiniment petit du second ordre.

Cela posé, si l'on considère un cercle de rayon quelconque, passant par le point 0, ayant en ce point môme tangente que la courbe proposée, et situé du même côté que cette courbe par rapport à la tangente, on verra que les ordonnées du cercle et de la courbe correspondant à une même abscisse infiniment petite seront deux infiniment petits du second ordre , dont le rapport pourra être un nombre fini cpielconque ; la différence de ces ordonnées sera donc dans le cas général un infiniment petit du second ordre. Toutefois, si le cercle est convenablement choisi et s'il a avec la courbe le contact le plus intime possible , la différence des ordonnées correspondantes du cercle et de la courbe sera un infiniment petit du troisième ordre , et la limite du rapport de ces ordonnées sera l'unité : le cercle défini par cette propriété est dit osculateur de la courbe au point considéré 0.

Corollaire. — Il résulte immédiatement de cette définition et des principes relatifs à la comparaison des infiniment petits de divers ordres [7wr le Traité (^analyse deM. Duhamel) que, dans la comparaison de l'ordonnée j de la courbe à un infiniment petit quelconque du deuxième ordre, à x^ par exemple , on pourra substituer à l'ordonnée y de la courbe l'ordonnée correspondante/' du cercle osculateur; et a- tendant vers zéro, les

deux rapports ^ et ^ tendront vers la même limite. On voit d'ailleurs que

la substitution de l'ordonnée du cercle à l'ordonnée correspondante de la courbe revient à regarder le cercle osculateur d'ime courbe on l'un do ses

go DES METHODES EN «EOMETRIE.

points, oommc la limite d'un cercle variable tangent en ce point à la courbe et la rencontrant en outre en un second point qui se iap|)nKlio indéfiniment du promiei'.

0/w67(w//(w. — On sait que le rayon du cercle osculateur d'une ligne en un de ses points est égal à la limite du segment intercei)té sur la normale en ce point par la ligne elle-même et par la normale infiniment voisine. Il résulte de là , en général , que toutes les fois que , ])ar la nature de la question , on saura construire immédiatement la tangente et par suite la normale à la courbe considérée , on sera en état de fixer soit par une construction, soit i)ar une formule, la position-limite du point de rencontre de deux normales infmiment voisines, et de déterminer par conséquent le rayon du cercle osculateur. Or cette circonstance se présente, en général, dans les courbes représentées par des équations différentielles du premier ordre et dans les courbes transcendantes , dont on ramène le plus souvent les équations à cette forme : la recherche du cercle osculateur pour de pareilles courbes peut donc être considérée comme une application du problème des enveloppes, résolu dans le chapitre précédent. Pour cette raison, nous nous bornerons dans celui-ci à l'étude du cercle osculateur dans les courbes algébriques.

44. Théorème général. — Q//c sur cIkkjiw ordonnée PM de la courbe on prenne , à partir du pied de l'ordonnée sur la tangente , une^ longueur PN telle , que le produit de PM par V^ soit égal au carré de C abscisse corjTspondante OP,

(i) PM.PN^ÔP';

la courbe auxiliaire , lieu géométrique des points N ainsi nhteinis , caupern Paxe Or en un point appartenant au cercle osculateur de la courbe pri native au point 0.

Démons/ration. — Faisons en effet, pour le cercle osculateur au point 0 . la même construction (|ue pour la courbe ellemême ; c'est-à-dire prenons sur chaque ordonnée PM' du cercle une longueur PN' telle, que l'on ait

(2) PM'.PN'^ÔF;

le point N' ainsi déterminé appartiendra évidem- 0 1' 3 ment au cercle osculateur, (>l OP tendant \crs

zéro , la limite de PN' sera la corde déterminée dans ce cercle par l'axe O >•. Or les relations ( i ) et (al , divisées membre à membre , donnent