PN^PN

par suite,

c'est-à-dire ,

lim. PN = -, lim. PM'

on = on . -7^-

On a donc ce théorème général : La corde du cercle oscidatear est à In corde coirespondantc de ht conique comme le carré du diamètre parallèle à la tangente au point cPosculation est au carré du diamètre parallèle à la direction commune des deux coj-des.

Corollaire I. — Que la ligne oy, au lieu d'être quelconque, coïncide avec le diamètre oc du point de contact ; la corde on' de la conique sera égale à 2c, et la formule précédente deviendra

D'ailleurs, si l'on mène la normale indéfinie oilK, coupant en H le diamètre it parallèle à la tangente et rencontrée en K par la perpendiculaire à la corde on menée par l'extrémité de cette corde, la similitude des triangles oHC, o«K , dans l'un desquels oK est évidemment le diamètre ap du cercle osculateur, donne la relation

oK

= on

oC

oVi

xt-

Donc , le cercle oscillateur en un point d'une conique détermine sur le dinmèti-e qui passe par le point de contact, une corde égale au jmramètre relatif à ce diamètre ( I ) ; et le rayon du cercle oscillateur est égal au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente au point cV oscillation, divisé par la distance du centre à la tangente (II ).

C'est l'expression du rayon de courbure généralement attribuée à M. Ch. Dupin.

Corollaire II. — Si la direction de oy est tellement choisie, que les diamètres ic et it, parallèles à oy et à la tangente, soient égaux , la formule générale deviendra

(III ) on = on'.

Donc si par un point d'une conicjiie on mène

une corde symétrique de la tangente par rapport

à une parallèle à F un des axes de la courbe, cette

corde appartiendra en même temps à la conique et au cercle oscillateur au

point considéré.

Corollaire III. — Que la droite oy soit dirigée suivant lun des foyers /de la courbe; nous aurons toujours

(i) on = on . -^•

Or on sait : i". Que le carré d'un diamètre est équivalent au produit par le grand axe de la corde menée par l'un des foyers parallèlement au diamètre ;

a". Que le carré d'un diamètre est égal à quatre fois le rectangle des rayons vecteurs qui joignent les deux foyers à l'une des extrémités du diamètre conjugué au premier.

On aura donc

.iA

" /■, /•' désignant les rayons vecteurs joignant les

deux foyers au point d'osculation o. Par suite, en substituant dans (i), on aura pour^la corde du cercle oscillateur dirigée suivant l'un des foyers.