PN

D'ailleurs les relations (r/)ct [(F), divisées membre à membre, donner •

PN PM' b

l*N' "~ PM ~ a

On a donc

PlU' 1,

p PM' b

Lemme H. — Soit une courbe [c) rapportée à deux axcsOx et 0 ) do//i le premier est tangent à la cuûrbe au point 0. Par le pied P de chatpie ordonnée MP ib' la courbe, et sous une dirertii'/; donnée, menons une

(hoitc PM' sur UuiueUc nous prendrons un jmnt M' situé h lu même distance de la tangente 0 x que le point M , et soit ( c' ) la courbe, lieu géométrique des points M' ainsi obtenus : les deux courbes [c) et [c') auront même cercle osculateur cm point 0.

Démonstration. — Il résulte immédiatemenl de la définition du cercle oscillateur (ju'il suffira, pour la démonstration du théorème actuel , d'établir que la différence entre les ordonnées des deux courbes [c] et (c') est un infiniment petit du troisième ordre, quand l'abscisse commune est du premier.

Oi-, soient M, M' deux \ni\x\i?< cori'cspondcmts Aç.'s, doux courbes ; joignons MM' qui est parallèle à 0 j; d'après la construction; menons parallèlement à MP ou à Oj l'ordonnée M'P' de la courbe {c') , qui rencontre en m la courbe (c), et joignons M/«. Si l'on désigne par a et a' les angles constants et finis que MP et M'P forment avec Pj:, le triangle MPM' donne d'abord

MM'sin(a-a').

MP ~ sina' '

il en résulte que MM' est, comme MP, un infiniment petit du second ordre. Lo triangle M///M' donne ensuite

wM' MM'

sin wMM' sinMwM'

Mais le rapport des sinus , qui forme le second membre , tend vers zéro (piand P tend vers k- point 0 : le rapport de mW à MM' est donc un infiniment petit; et MM' étant lui-mêrtie du deuxième ordre, il en résulte que wM', c'est-à-dire la différence des ordonnées correspondantes des deux courbes ( r) et ( c' ), est un infiniment petit du troisième ordre, c. Q. F. d.

48. Appliciuons le mode de transformation auquel se rapporte le lemmel à un cercle (C) de rayon a, en emitloyant des ordonnées perpendiculaires à la tangente Oa*; et

soit - le rapport constant des ordonnées correspondantes de la courbe dérivée (C) et du cercle (C). Le rapport -, des rayons des cercles osculaleurs en 0 du ceicle et de la courbe (C) sera éga! à -; d'ailleurs p = «; on aura donc

pour le rayon du cercle oscillateur en Ode la courbe (C). D'ailleurs la courbe dérivée ((7) est évidemment une ellii)se dont W point 0 est l'un des

sommets, le demi-axe aboutissant en 0 étant égal à /^, et le demi-a\e parallèle à la tangente en 0 étant égal à a.

Donc le rayon du. cercle oscillateur fPtine ellipse en l'un de ses sommets est égal au carré du demi-axe étra/iiyer au smiinu-t , dirisé /lar le demi-axe cjui aboutit à ce sommet.

-49. Appliquons maintenant le mode de transformation auquel se rapporte le lemmell à l'ellipse (G), ayant pour demiaxes CM = rt, CO = ^ ; les ordonnées MP de l'ellipse étant perpendiculaires à la tangente 0,r en l'un de ses sommets, et les ordonnées PM' de la courbe dérivée (C), ayant une direction quelconque. Les deux courbes ayant même cercle osculateur au point 0 , on aura

pour le rayon du cercle osculateur en 0 de la courbe ( C ). Or cette courbe est une ellipse dont le point 0 est rextrémité d'un diamètre quelconque ; « = CM = C'M' est le demi-diamètre de cette ellipse parallèle à la tangente en 0, et /; = OC = C'H est la distance du centre C de cette ellipse à la tangente en 0.

Donc le rayon du cercle osculateur d'une ellipse en htn cptelconque de ses points est égal au carré du demi-diamètre pnirdlète à la tangente en ce point, divise par la distance du centre à la tangente.

50. Comparaison des i-ayons des cercles oscuUileurs de deux lignes ccnstruites sur le même axe et dont les ordonnées cnrresj)ondantes sont dans un rapport constant. Théorème de Mac-Cullagh..

Il résulte de la remarque faite au § I, n" 43. page 89, que l'on peut regarder le cercle osculateur en un point d'une courbe comme la limite des cercles passant par ce point et par deux autres points de la courbe infiniment voisins du premier.

Nous plaçant à ce point de vuC;, considérons deux courbes [c] et [c'] (pii , construites sur le même axe ar , ont leurs ordonnées correspondantes dans un rapport constant : soient A , B, C trois points de la première et A', B', C les points correspondants de la seconde, et désignons par r/, /;, r, a\ b', c' les côtés des triangles ABC, A'B'C, et par /•, /' les rayons des cercles circonscrits à ces triangles. Si, recourant à la méthode par les aires auxiliaires (P Partie, page 14), nous désignons par S, S' les surfaces des triangles ABC, A'B'C, nous aurons

SEf.OXOK PARTIE. ()'J

(l'on

/• ti h r S' ;•' /•/' 1/ r' S

Mais le rapport des aires S' et S est égal au rapport des ordonnées correspondantes des deuxcourbes y et j; on peut donc écrire

f a h c y' fi) =...•„.

D'ailleurs les côtés a et a' ayant même projection sur l'axe commun des deux courbes, on a

a cos [(i\ o.c) a' (:0S(//, ox \

et l'on a des expressions analoi^ues pour j, et -,• Il en résulte que, si les

points B, C et B', C tendent à se confondre respectivement avec A et A', pn même temps que r et /•' tendent vers leurs limites respectives p et p', rayons des cercles osculateurs des deux courbes en A et A', les trois rapports — 5 T-,1 -, tendent vers une limite com^nune qui est égale au rapport

inverse des cosinus des angles que font, avec l'axe commun ox ^ les tangentes aux deux courbes en A et en A'. On a donc , en passant à la limite et désignant ces angles par a et a' ,

p cos^ a' f p' ~ cos' y. y ou

[x] p . r . cos' a 3c p' . -V ' . cos'' a'.

Enfin , si l'on désigne par t et t' les portions des tangentes aux deux courbes comprises entre les points de contact A , A' et l'axe commun ox , on aura

cos a t' cos 'j!~ t

et la form\ile précédente pourra être remplacée par celle-ci :

rjj . Si l'on applique la formule précédente à l'ellipse et au cercle décrit sur le grand axe comme diamètre , on trouvera que /c rayon du cercle oscillateur, en un point quelconque de V ellipse , est égal au cube du demidiamètre pandlèle h la tangente en ce point , divisé par le rectangle des demi-axes ; et cette expression, qui équivaut à lune de celles déjà données, aura été obtenue en suivant une voie entièrement élémentaire. De plus, dans le cas spécial où nous nous plaçons, la relation (i) d'où les formules ( x) et {x') ont été déduites , donne le théorème suivant , dû à Mac-Cullagli

()8 DES MÉTHODES EX CiÉOMFTRIE.

[7X)ir les Nouvelles Annales, iS-Oo, page 29G ) : Un (rinn^le étant inscrit dans une ellipse , le rayon du cercle circonscrit au triangle est égal au produit des dcini-dianiétiTs jniraUclcs au.v côtés du trituigte , divisé jnir le produit des denn-axcs.

g IV.

52. Newton a donné le nom de qucdité de la courbure d'uno lii^np en

drj

l'un de ses i>oints an rai)porl — , e'est-a-dire a la limite du rapport de

l'aecroissement du rayon du cercle osculateur à l'accroissement de l'arc, {piand on passe du point considéré sur la ligne à un point infiniment voisin. ÎMaclaurin , dans son Traité sur les propriétés génér/des des courbes algébriques ( théorème 111 ) et dans son Traité des Fluxions, trouva l'expression et la construction géométrique de ce rap])ort ; mais cette construction présente l'inconvénient de nécessiter l'emploi d'une courbe auxiliaire. Or le théorème suivant nous fournira, en même temps que la solution d'un problème proposé par Carnot {Géométrie de position, problème 7.5.

page 477) , "ne construction géométriqiie très-simple du rapport -y-

i>3. TuÉORKME. — Oue Von désigne i)ar -j- la qualité de la courbure

d'une ligne en l'un de ses points , et (fuc F on aj)])elle a l'angle formé p(tr la

nornude en ce jmint avec la droite ijui passe par le milieu de la corde

fxiraltrie à ta tangente en ce point et infiniment voisine de celle-ci , on

(Uira

i do

langa = - -f •

i ds

Démonstration. — La nature de la question conduit à remplacer la ligne doimée, qui est quelconque, par une ellipse ayant avec la proposée un contact du troisième ordre; il suffira donc d'établir la formule (1) pour l'ellipse osculatrice.

Pour y parvenir par la voie la plus rapide, regardons cette courbe comme la trajectoire d'un mobile soumis à l'action d'une force émanant du centre de la courbe, et observons que la droite qui fait, avec la normale en a , l'angle a est précisément le diamètre de l'ellipse qui aboutit en ce point. Cette droite est donc dirigée suivant le centre attirant, et l'on a , par conséquent ,

tang a

T, N ilés^ignanl les composantes langentielle et normale de la force accé-

SECONDE PARTIE. qq

lératrice, c désignant la vitesse du mobile en a , et p le rayon du cercle osculateur de l'eliipse au même point.

bi 1 on observe que Yt ^ T- ' Tf "^ 'F '* '^"'^'^"'^ ''^) P*^"!"''^ s écrire [a') [m» y. = * — r--

f'.rt.V

Cela posé, si Ion désigne par a et 0 les demi-axes de l'ellipse, par / un paramètre constant et par p la distance du centre à la tangente en y?, on sait que l'on a

' ah jr p

d'où

[h) t±=.Pl± = l,u.

Et de là , en substituant dans («'), il vient la formule cherchée

; r \ \ dp

(I) tanga = -.-^.

Corollaire. — On déduit facilement de cette formule la construction du cercle osculateur de la développée de l'ellipse en l'un quelconque de ses points.

5i. ProrlÈME. — Que Von mène pnrcdlèlemcnt à la tangente en un point B d'une courbe une corde AC, dont la distance à la tangente soit un injiniment petit du second ordre , et que Von joigne le milieu pt de cette corde au point de contact par la droite By.. On propose de déterminer la direction - limite de la droite B ,«• , ou la limite de fansle a qu'elle forme avec la normale en B. [Géométrie de position , probl. 76, page 477-)

Solution. — Ce problème se trouve implicitement résolu par la démonstration du théorème précédent : mais ce n'est là qu'une solution détournée et reposant d'ailleurs sur un nombre considérable de propositions antérieures. On pourrait, à la vérité, modifier la démonstration de manière à se servir seulement de l'expression du rayon de courbure de l'ellipse osculatrice , ainsi que l'a fait M. Abel Transon {Journal de Mathématiques, 1841, p. 191); mais il y a encore dans cet emploi quelque chose d'indirect que l'on peut éviter (aux dépens de la brièveté, il est vrai ) par l'emploi des considérations suivantes.

Observons d'abord que , Bh mesurant la distance de la tangente à la corde AC , dont p. est le milieu , on a

tanga=^^;

et comme B// est du second ordre, que tang y. est, en général , un nombre

lOO DES MÉTHODES EN CÉOMÉTRIE.

Uni, on voit que [t-h est du môme ordre, et que, par suite, on doit fixer la position apinochée m du milieu p. de la corde AC, de manière à ne commettre qu'une erreur du troisième ordre, ce qui exige que l'on évalue la corde AC avec la même approximation. Or, si deux courbes ont un contact de Tordre «, la différence des ordonnées, comptées à i)artir de la tangente commune, étant, par définition, un infiniment petit de l'ordre « +1, on en déduit aisément que la diiîérence des cordes telles que AC, A'C de ces courbes est seulement de l'ordre n.

Nous pourrons donc , pour l'objet actuel , remplacer la ligne donnée par une autre ABC , ayant avec elle un contact du troisième ordre en B ; et si nous prenons pour celte ligne ABC une déirloppantc de cercle , le rayon 0'^ = p' de ce cercle sera précisément le rayon de courbure de la développée de la courbe primitive , au point h où cette développée est touchée par la normale en B.

Cela posé , soient r/ , h , c les points de contact sur le cercle 0' des normales en A, B, C; 0 l'intersection de kn prolongée avec Ce Soient menées la droite O'O coupant le cercle en h'\ et la normale //B' coupant en / et //, lesdroites AflO et AC. Menons enfin la bissectrice 0/« de l'angle COA et la perpendiculaire Op à CA; posons O'b = 0'b'= p'= I, A «■ = p , arc ob' ~ arc cb'= tp, et désignons en général par e" un infiniment petit de l'ordre n.

I . Je dis d'abord que le point m , extrémité de la bissectrice de l'angle AOC , peut être pris pour le milieu p de la corde AC. On a , en effet,