AO + CO

Or, AO + CO est une grandeur finie, AC est du premier ordre et AO — CO est du troisième ordre. Car

AO-CO = {Xo + aO)-{Cc-Oc) = 2(tangv-?)

COSç

ou, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au troisième, (,) AO-CO = ''' ■

SECONJ>K PARTI F, . lOI

Donc À m — Cm — iina est du quatrième ordre, et ron peut substituer le point ni au point y.

a. iJp étant perpendiculaire sur AC, évaluons ]>i>i ou /j(/. On trouve

17/ - c^' = Âô' - œ\

K r AO — CO , . „ , „„>

Or, on a déjà trouvé AO — CO = - '^', et le triangle AOL donne, en négligeant c",

Ac' = 4 AO.CO.sin>, d'où

AC = sin^.av^IÔXÔ = '^.^. 2 V^ÔTCÔ.

Il vient donc, en substituant ces valeurs dans l'expression de a/z/y^,

3J^ j ^(3 + C0 2 , ? AO + CO . ^ "'/" ^ ■ siu y ' 7^AÔTC0 ~ 3 ''' 'sin '^^ ,^ v^AO.CO '

ot, comme le premier facteur est du second ordre, on peut remplacer chacun des deux autres facteurs par sa limite qui est l'unité; il vient donc

(2) mp = ~'if\

Il résulte d'ailleurs de cette expression do mp que l'angle pOm, son

égal ôO'b' et l'arc bb' qui le mesure, sont des infiniment petits du second ordre; donc, en appelant 9 le point d'intersection des tangentes ^A, b'h', on voit que les triangles 0 hh\ Opin sont semblables et que la différence des côtés finis de ces triangles est du second ordre; donc la différence des côtés infiniment petits ////, mp est du quatrième, et l'on peut écrire

3. On déduit aisément de là l'expression de /im , qui nous sera nécessaire pour calculer tang y. = -^j- Car ///// — /l' m — /ih' ; ou, à cause

des parallèles, hm — Ob' — /th' ; d'ailleurs 0// = sec'j> — i = — -t- '' il vient donc, en substituant ,

I02 DES .MÉTHODES EN tiéoMÉTRlE.

4. Pour calculer B// , on observera d'nhnrd que la ditlérence entre B/i et B'A' est du quatrième ordre. Car

i". ^h' — ^h = 9/i' (i— cosfJ) = ôA'.2sin^- = e*, puisque l'angle

/\ 6 = /?0/« est du second ordre ;

1°. OB'— ÔB (différence positive comme la différence analogue OA — OB) est moindre que G B, — ô B , qui est du quatrième ordre pour la même raison.

Donc la différence W h' — Bh étant du quatrième ordre, nous pourrons substituer B'A' à B//.

En second lieu, si l'on abaisse kk' perpendiculaire si^r B'h'b\ on verra que h' />' — A/f'sin //'A/;' = Ah' sin 0 = e\ et l'on pourra écrire , par conséquent ,

Enfin, on trouve successivement sur la figure

X'B' = ^'B' — h't ~ tk' ~ ( p + ») — tang - — ( p -H tang - \ cos y ,

et l'on en déduit successivement

k'B! = p (i — cos'f) +'f — tang- (iH-costj') = p.— H-î* + (w — siny ),

Donc enfin