II

Bh = - ^\p

5. Si l'on divise membre à membre les relations (I) et (II), il vient

d'abord

tang a = - . - ; 3 p

et si l'on observe que, le rayon O'è = p' du cercle osculateur de la développée ayant été pris pour unité de longueur, cette formule équivaut , en rétablissant l'indétermination de cette unité, à celle-ci

tang a I p' p 3 p

il vient définitivement

(X) tanga-i.^i,

au moyen de laquelle on passe aisément à la formule ( I ) du numéro précédent.

Obsen'dtion. — Carnot avait été conduit accidentellement à se poser le

SECONDE PAItTIE. I () )

problème que nous venons de résoudre , dans, le but de parvenir à une délinilion générale des courbes planes , indépendante de tout système de coordonnées arbitraires ; ces coordonnées ne devant être considérées, d'après lui, que comme des auxiliaires utiles, mais étrangers en réalité à la courbe considérée, et qu'il serait par conséquent plus élégant de supprimer. On voit que cette conception est diamétralement opi)Osée à celle de Descartes, et autant cette dernière paraît lumineuse, autant elle est utile et féconde, à cause même de l'indétermination qu'elle comporte ; autant , il faut l'avouer, la conception de Carnot paraît obscure et semble devoir demeurer stérile, précisément parce qu'elle veut atteindre l'absolu. Quoi qu'il en soit d'ailleurs de la valeur de cette conception, Carnot fait remarquer qu'une courbe plane quelconque peut être défmie par la relation / (p, a) — o qui existe entre le rayon de courbure de cette ligne, en l'un de ses points , et l'angle correspondant a , dont nous venons de déterminer la tangente , p et a formant évidemment un système de coordonnées absolues satisfaisant aux conditions qu'il s'était imposées. Or, c'était afin de pouvoir revenir de l'équation /(o, a) = o à l'équation en coordonnées rectilignes ordinaires , qu'il s'était proposé de trouver l'expression de tang a.