CHAPITRE IV

Des maxima et minima absolus.

§ Y'- — De la grandeur maximum ou minimum parmi

DES grandeurs DETERMINEES.

ua. Kepler paraît avoir observé le premier la propriété remarquable dont jouit une grandeur variable dans le voisinage de son état de maximum ou de minimum. L'un de ses ouvrages, Nova stereometria dolioram \^iii<iriorum..., i6i5, renferme, en effet, outre les premiers germes de la géométrie infinitésimale bientôt développés par Cavalleri [Geonietria indivisibilibus..., iG35), cette importante observation que dans le voisitiage de sa plus grande ori plus petite iHilcar, une grandeur ne varie rpit par degrés insensibles; et l'on voit que cette observation n'est guère se* parée du principe qui sert de base à la théorie analytique actuelle des maxima et minima que par l'intervalle d'une définition.

Un peu plus tard, vers i636. Fermât, précisant ce premier aperçu, prit pour base de sa méthode des maxima et minima ce principe que , si l'on prend une grandeur vtniable dans son état de nuixiniuin ou de niininami et dans un second état injîninwnt voisin du premier, les \mleurs correspondantes de cette grandeur sont égales.

Ce principe, dont nous modifierons un peu l'énoncé afin de demeurer exai't dans la forme comme dans le fond, sert de base à la méthode géométrique des maxima et minima : méthode (pii a son importance piopre à côté delà théorie analytique correspondante, et qui supplée très-heureusement

I04 1>1^S 3iÉTHODES Ki\ <iÉO.MKTRlE.

à celle-ci dans un grand nombre de questions où elle parait être en défaut.

Principe fondamental. — Soient c/,, , a^ , deux valeurs infiniment, voisines d'une grandeur variable A , entre /es(/ii('//es se trouve comprise la V(deur maximum ou minimum a de cette grandeur. Les vtileurs extrêmes a^ , a^ peuvent être co/isidërées comme rigoureusenu-nt égales entre elles.

Démonstration. — Supposons, pour fixer les idées, que « soit la valeur maximum de A, et que «„ soit une valeur infinintient voisine de «, inférieure à c/, puisque celle-ci est maximum, et précédante dans l'ordre de formation des valeurs successives delà grandeur A. Celle-ci, continuant à varier au delà de la valeur a , ira nécessairement en décroissant pendant un certain temps, depuis la valeur maximum «jusqu'à une valeur « — a, a étant un nombre fini ; et comme nous supposons essentiellement que la grandeur A varie d'une manière continue entre a et a — a, elle passera nécessairement par une valeur «, , précisément égale à «„, et qui sera, comme celle-ci, infiniment voisine de la valeur maximum a.

Corollaire. — La méthode à suivre dans la recherche du maximum ou minimum d'une grandeur variable , résulte immédiatement du principe précédent : Prenant la grandeur considérée dans deux états successifs , c'est-à-dire infiniment voisins, on exprimera cpi'elle n In même valeur dans ces deu,v états; l'égalité résultante, convenablement interprétée et prise ht instant-limite où les deux états successifs se confondent , fournit une propiiété qui caractérise la grandeur variable a Pinstant où elle atteint sa valeur maximum ou mi/iinauii.

APPLICATIONS

56. Problème I. — Par un point donné, mener une droite telle, ([ue le segment déterminé sur cette droite , par les côtés d'un angle donné , soit minimum. [Opuscules de Newton, tomel, page 87, questions 2 et 3.)

Solution. — Soient aib, a'ih\ deux droites passant parle point donné /, infiniment voisines de la droite à laquelle correspond le segment minimum, et telles, que les segments ab , a'b' soient égaux. Les segments ab , a' h' étant égaux , et les droites aib, a'ib' étant infiniment voisines l'une de l'autre, leur point d'intersection i est infiniment voisin du point suivant lequel la droite nb toucherait son enveloppe, si elle se mouvait, sous cette condition que le segment de cette droite, intercepté dans l'angle donné , conservât une longueur constante. Donc (d'après la construction de la page 61), pour la droite aib infiniment voisine de la droite cherchée, le point donné i est infiniment voisin du pied de la perpendiculaire abaissée sur cette droite du point de concours des perpendiculaires aux côtés de l'angle donné, menées par les points a et b. On en conclut que la droite minimum, menée par un point donné dans un angle donné , at définie par cette condition, (pie la perpendiculaire à cette droite menée par le point donné, et les perpendiculaires aux côtés de Vanglc nu-nées par les rxirémilés de hi dmitc ciiiimdirnt en un lui'inr point.

SECONDE I>ART1E. 1 o5

Scolie. — On arriverait à une définition toute semblable de la droite à segment minimum , en remplaçant les côtés de l'angle par deux courbes quelconques , et en substituant aux droites issues d'un point fixe du problème précédent des droites tangentes à une courbe \^\\q.

Problème II. — Mener tnngenticllement à une coarbc donnée une droite qui intercepte dans un angle donné , circonscrit à lu même courbe , un triangle de surface maxinnim ou minimum.

Solution. — Soit / le point d'intersection de deux tangentes infiniment voisines et interceptant dans l'angle yox des triangles aob , a'ob' équivalents. Les triangles infiniment petits aia\ bib' étant eux-mêmes équivalents .et le point / étant infiniment voisin du point de contact t de la tangente ab, on voit que pour une tangente, ab, infiniment voisine de la tangente cherchée AB, le point de contact t est infiniment voisin du milieu du segment ab. Donc la tangente clierchée est définie par cette condition, que son point de contact coïncide avec le milieu du segment déterminé par cette tangente dans l'angle donné.

Remarque. — Il y a maximum ou minimum, suivant que l'on considère la portion de la courbe tournant sa convexité ou sa concavité vers le sommet de l'angle.

Corollaire. — Parmi tous les polygones d'un même nombre de côtés , circonscrits à une courbe fermée , le polygone , dont la surface est minimum, est défini par cette condition , (pie le point de contact de chaque côté coïncide avec le point-milieu de ce côté.

Problème III. — Dans un segment donné d'une courbe quelconque , inscrire un rectangle d'aire maximum. [Opuscules de Newton , tome I , page 87, question i.) Solution. — Soient ab, a' b' les côtés, parallèles à la base xy dn seg- ,ji ment, de deux rectangles infiniment voisins, com-

prenant entre eux le rectangle maximum et équivalents. Menons les droites indéfinies aa', bb' qm forment avec ^j un triangle mnp, et substituons ■' '^ aux rectangles ayant pour côtés ab, a'b' les parallélogrammes équivalents rt^crt, «'^'c'/?. Soit /l'intersection de ab et de b'c'. La comparaison des parallélogrammes abcn , a'b'c'n, équivalents et ayant une partie commune , montre que les parallélogrammes a'b'ka et bec' h- sont équivalents, on a donc l'égalité

(1) a'b' .b' f, — bk .bc , ou -tt- = — m'

bk a b

D'ailleurs, les triangles semblables b'kb, ma'b' donnent celte relation

Io6 DES x^lÉTilODKS EX «a-îo.^îKTKIK.

et la comparaison des lelalions (i) et (2) donne rcii;alilo

bc = a' m , ou

(3) an = Cl' ni.

Si donc, passant à la limite, on suppose que ab et n'b' se confondent avec le côté ap du rectangle maximum, on verra que le rectangle maximum, inscrit dans un segment de courbe, est celui dont le côté est également éloigné de la base du segment et du point de concours des tangentes menées à la courbe par les extrémités de ce côté.

Problème IV. — Trouver, pour un lieu donné , le jour du plus petit crépuscule.

Ce problème a eu une certaine célébrité, et parles dilTicultés qu'il présente et i)ar les noms des géomètres qui s'en sont occupés : il a été résolu pour la première fois par Nonius, géomètre portugais [De Ci-epusculis , Coïmbre, iSyS). Plus tard, Jean BernouUi reprit la même question, et voici ce qu'on lit à ce sujet dans ses œuvres {Opéra omnia, tome I, page 64) : fai résolu le problème de trouver géométriquement le jour du plus petit crépuscule, ce ([ui a occupé mon frère , professeur de mathématiques h Bâle, et moi depuis plus de cinq ans , sans en poumir venir à bout. Ce problème est d'autant plus curieux (pie je demeure, par ma méthode de maximis et mi ni mis [qui est pourtant une des plus courtes), dans un calcul prolixe et embarrassé, cpii se laisse enfin réduire en une petite équation carrée qui se transforme en cette simple proportion géométrique

I sin/ ,, ,. „ ^

Janvier 1O93.)

H sinD tang-

Dans la Correspondance sur P École Polytechnique (tomel, page iSg), Hachette ajoute aux détails précédents que Monge résolut la même question en menant un plan tangent commun 'à deux cônes ayant même sommet : il ne paraît pas d'ailleurs que Monge ait publié sa solution , la construction à laquelle il est parvenu ayant été seule reproduite par Hachette qui se borne à démontrer qu'elle conduit à la formule de Bernoulli.

Nous reproduirons, avec quelques modifications, h solution du marquis de l'Hôpital [Analyse des infiniment petits , section III, exemple i3), fondée précisément sur le principe de Fermât qui conduit par la voie la plus courte à la formule cherchée.

Prenons pour plan de la figure le plan méridien du lieu PHP'H'. Soient PP' l'axe du monde, HH' la méridienne; H et AH' le grand cercle de l'horizon du lieu et 0 son centre; hb^h' le petit cercle de la sphère céleste, parallèle à l'horizon et auquel se terminent les arcs crépusculaires.

Soient \)KS[)' , dabd' deux parallèles infiniment \oisins décrits par le

SE(:Ox\i)i<: PARTIE. 107

soleil; AB et ab les arcs crépusculaires correspondants, comitris entre les cercles HABH', hnbh'] C et c les centres de ces parallèles; joignons CA, CB , en , cb.

Si nous supposons que ces parallèles comprennent entre eux le parallèle décrit par le soleil au jour du plus petit crépuscule, les arcs AB et ab, évalués en degrés, seront égaux , et l'on aura