CHAPITRE V

Ses maxîma et minima relatifs.

60. Problème généil\l. — Parmi toutes les courbes en nombre infini, dont les extrémités sont assujetties à certaines conditions communes , et pour chacune desciuelles une certaine fonction F, cfui dépend de la courbe tout entière, a une mente valeur, déterminer celle pour laquelle une cuitre fonction 'ï> de la courbe a une valeur maximum ou mininnan.

Dans cet énoncé on désigne par fonction d'une courbe une grandeur soit géométrique, telle qu'une longueur, une aire ou un volume dont les éléments se forment, d'après une loi donnée, en chacun des points de cette courbe; soit numérique, etla/o«rf/o« est alors représentée par une intégrale définie s'étendant à tous les points de la courbe qui se trouvent compris entre des limites données.

Le problème actuel se ramène très-simplement au problème des maxima et minima absolus qui a été résolu à la fin du dernier chapitre au moyen du principe suivant qui a été employé d'abord par Maclaurin ( Traité des Fluxions, 174^) et par Euler [Methodus inveniendi, 1744 ) pag6 188), et . qui est d'un continuel usage dans le calcul des variations :

Principe fondamental. — La ligne cherchée L, pour laquelle la fonction «l" est maximum ou minimum, parmi toutes les lignes pour lesquelles la fonction F a une même valeur, est aussi la ligne pour Uupielle la fonction F + A<Ii est un nuixintum ou un minimum absolu , a étant un nombre indéterminé.

61. Ce principe est évident en lui-même. Quant à la manière de l'appliquera la solution de chaque problème, d'après la méthode générale énoncée à la page 11 3 , on dcvj'a retrancher de la fonction F + ).<!> une jonction ou grandeur auxiliaire Y, ayant la même valeur pour toutes les courbes que l'on considère , cette r^aleur dépendant d'' ailleurs d'un paramètre indéterminé ; et les fonctions ¥ , <!', V étant décomposées en éléments corrcs])on(lants , on exprinwra (pie chacun des éléments \.¥ -\- 11^.^ — A.T fie la fonction totale ¥ -\-'k'\> — T est maximum ou minimum, ce qui fournira la définition de chacun des éléments de la courbe cherchée; c'est-àdire lé(|uatioii (lillérentielie de cette courbe. L'équation différentielle obtenue contenant d'ailleurs deux paramètres indéterminés, ou constantes arbitraires, réijuation qui résultera de son intégration en contiendra trois dont on déterminera les valeurs sous cette double condition : que les extrémités de la courbe satisfassent aux conditions données, et que la fonction F de la courbe acquière la valeur donnée.

APPLICATIONS

G2. I. Problème. — Trouver In ligne de In plus 7ntc dexcente pnrmi toutes les lignes d'une longueur donnée qui réunissent deux points donnés, dnns le ans où les forces qui sollicitent le mobile mue différents points de sa course ont In même direction. ( Traité des Fluxions , tome II, n" 588.) Solution. — Soit AMB la courbe cherchée telle, que l'arc AMBait une longueur donnée, et que le temps employé à parcourir AMB avec la vitesse variable c, que nous désignerons par S. AMB, f, soit un minimum. D'après la méthode précédente nous devrons \m chercher la courbe AMB pour laquelle l'expres-

^'__ sion nrc AMB + )^ . S. ( AMB, c ) , ou celle-ci ,

nrcPCm , ^ , ,,,„ .