S ( AMB

est un minimum absolu; et si nous regardons > comme représentant une vitesse, il suffira de rendre minimum la somme G (AMB, c) 4- S (iVJMB, )>). Enfin, BO étant la projection horizontale de la courbe AMB, et [j. désiï^nant une nouvelle vitesse constante et indéterminée comme )^ , nous chercherons la courbe pour laquelle l'expression

5 (AMB, c) + S (AMB, > ) - S (OB, ij.)

est un minimum.

Enfin, si nous décomposons ces trois grandeurs en un même nombre d'éléments correspondants, et que nous appelions ds et dy l'élément MM' de la courbe et sa projection /«M' sur l'horizon, il suffira de rendre minimum chacun des éléments

ds ds dy (' / [/.

ds dy

Or — — r- désignant une nouvelle vitesse V, le minimum aura lieu,

d'après le lemmc de la page 1 1 3 , quand on aura

sm M M/w = -;- = — = ,

ds y. ^. ( (• + A )

OU enfin

ds C + C (' C et C étant deux constantes arbitraires.

Remarque. — La relation (I) est l'équation diilérentielle de la hrachistochrone cherchée, pour le cas où la pesanteur agit sur le mobile par des droites parallèles et avec une intensité constante ou variable suivant une loi quelconque : elle montre que la hrachistochrone est tangente à la verticale du point rie départ, car, en faisant v = o dans réc|uation, on a

■dr d-s'=''-

2. Problème. — Parmi toutes les lignes d'égale longueur qui joignent dewr points donnés A c ? B , trouver celle qui est parcourue dans un temps minimum par un mobile soumis à l'action d'une force émanant d'un centre fixe. ( Traité des Fluxions, tome II, n" 591.)

Solution. — Soit AMB la courbe cherchée pour laquelle , en recourant à la notation abrégée que nous avons employée plusieurs fois , la grandeur S (AMB, v) est minimum.

Comme toutes les courbes, parmi lesquelles se trouve celle que nous cherchons, ont la même longueur, en désignant par )une vitesse indéterminée , la grandeur G • ( AMB , )> ) sera constante pour toutes ces courbes , et par suite la somme G. (AMB, c) + S.(AMB, V) doit être im minimum absolu pour la courbe cherchée. Enfin, pour toutes les courbes qui joignent le point A au point B, l'arc «B, décrit du point C comme centre avec CB pour rayon et terminé aux rayons CA , CB , est constant , et le temps employé à parcourir cet arc avec une vitesse constante y. est constant. Donc la courbe cherchée satisfera à cette condition

MM' MM' NN'MM' Mm'

(' ). a ~ vl CM

(' + / "'cb'

Or ■ — W et y-.7Tîî désignant de nouvelles vitesses, cette dernière exr ('4-A ' CB ® '

pression 'sera minimum si l'on a en chaque point de la courbe cherchée