CM CB

ou, en prenant le point C pour origine des coordonnées polaires, et posant CM = /-, CB = r,,

ds r p. ( c + >. ) ^

SECOXDK PARTIE

OU enfin

ds ""C + Cf C, C désignant. deux constantes arbitraires.

Telle est l'équation ditî'érentielle de la courbe cherchée : elle montre que la courbe est tangente au rayon CA qui aboutit au point de départ.

3. I'roblÈme.— Parmi toutes les lignes planes d'une longueur donnée qui réunissent deux points donnés A et B, trouver celle qui, par sa rotation autour de F axe Ox situé dans le même plan, engendre la surface minimum. Solution. — Soit AMB la courbe cherchée pour laquelle les intégrales ids, f^-ds étendues à tous les éléments de la courbe compris entre A et B ont , la première une valeur donnée, la seconde une valeur minimum : pour cette courbe, l'intégrale

fds + lSyds = Jds{i+lj)

sera un minimum absolu , a étant un paraimètre indéterminé.

D'ailleurs, pour toutes les courbes qui joignent le point A au point B, l'intégrale f dx ou y-fdx, prise entre les mêmes limites que la précédente , et dans laquelle [j. désigne un nouveau paramètre indéterminé , a une valeur constante. Nous définirons donc la courbe cherchée par cette condition que l'intégrale

soit un minimum ; et cette condition sera satisfaite si nous rendons minimun chacun de ses éléments (i 4-aj) ds — p.rf.r, ou

ds dx

I + \r fjt

r)r, si l'on regarde ^ — et - comme représentant des vitesses et que