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l'on regarde comme donné raccroissement dr de l'ordonnée, dans le passage d'un point M de la courbe au point infiniment voisin M', le minimum aura lieu si l'on a
dx I + Av
ds " I "
ds
sinMM'///' ou
(lin (
qui est l'équation diflerentielle de la courbe cherchée , et celle-ci est encore une chaînette ( voir le problème 4 , page 1 19).
\. PnOBLÈME. Parmi toutes les lignes ])laaes d'une longueur donnée
(fiti réunissent les ciln-mités d'une droite donnée AR , tromper eelie dont raire [comprise entre la emirbe et In droite AB ) est nid.viniuni. Solution. — Soit prise pour axes des.r une droite Oj: qui laisse au-dessus d'elle tous les points de la courbe cherchée AJMB. L'aire AJVIBA étant maximum, lintégrale iydr, prise par rapport à l'axe 0.r, sera , au contraire , minimum, et comme les intégrales ^ ds et ^dx ont une valeur constante pour toutes les courbes que nous considérons, la courbe cherchée sera définie par cette condition que l'intégrale
/[r/,v + (M-— u:)dxA^
" P I" h ' X ou
étendue à tous les points de la courbe compris entre A et B, soit un minimum , et cette condition sera satisfaite si l'on rend minimum l'élément
ds — [i'.— >. y) dx = ;
m JSV/t
c'est-à-dire si l'on a
sin MM //? — —r ds
On en déduit
(IV) (r C) = C'^'
pour l'équation différentielle de la courbe cherchée : cette courbe est donc un arc de cercle.
Observation. — On voit, parla série des applications contenues dans le chapitre actuel et dans le § Il du précédent , que la méthode de Maclaurin , qui a d'ailleurs ses limites comme toutes les méthodes purement géométriques, ne le cède guère en élégance, en rapidité et en uniformité même, à la méthode analytique des variations, à laquelle elle paraît supérieure, si l'on considère la simplicité élémentaire des moyens qu'elle emploie pour atteindre son but. On peut observer aussi qu'en cette matière encore la géométrie a devancé l'analyse, puisque la belle conception de Maclaurin a précédé de deux et de vingt ans les travaux analytiques d'Euler et de Lagrange sur le même sujet.
