CHAPITRE \I

De la méthode par décomposition en éléments correspondants.

0)3. La méthode par décomposition en éléments correspondants, considérée au point de vue de ses rapports avec l'analyse, est l'une des plus importantes de la géométrie. Elle s'ajjplique aux deux problèmes

ii;cnéraux ayant pour objet (dévaluer une i^id/uleiir prcahiblcmcnt décomposèc en ses élviiicnts , ou de conipaicr deux grandeurs déjà décnmjjosées en un menu- nombre d'éléments eorrespondxints.

Le premier problème se ramène le plus sou\ ent au second ; nous verrons un exemple de celte réduction dans le problème de l'attraction d'une si)hère sur un point extérieur. Si cette réduction paraît impossible ou inutile , on devra , ou chercher une nouvelle signification géométrique dos éléments de la grandeur que l'on veut évaluer, nu bien combiner deux à deux des éléments de cette grandeur qui se trouvent séparés par un intervalle fini , les éléments résulta/tts pouvant ])résenter une signification géométrique se prêtant mieux à l'évaluation de leur somme; ou , d'autres fois enfin, décomposer chaque élément en deux éléments partiels, dont on pourra obtenir plus facilement les sommes respectives. Le problème de la quadrature des épicycloïdes présente une application de ce dernier procédé. Nous donnerons des exemples des deux premiers dans le problème de la rectification des épicycloïdes et dans celui de l'attraction d'un cj'lindre sur un point extérieur.

Dans le second problème, il peut arriver (ïabord que la nature de la question permette de décomposer les deux grandeurs considérées en un même nombre d'éléments correspondants qui soient deux à deux dans un rapport constant , et l'on en conclura que ces grandeurs sont entre elles dans le même rapport que leurs éléments; d'autz-es fois , on pourra évaluer la difiérence entre les éléments correspondants des deux grandeurs et trouver la somme de ces différences élémentaires qui représentera la différence entre les grandeurs considérées , etc. Nous verrons des exemples de ces différents cas dans la théorie des courbes tautochrones et dans la démonstration du théorème de Fagnano.

On voit que la méthode actuelle remplit en géométrie le rôle réservé dans l'analyse au calcul intégral , qu'elle a précédé dans l'ordre historique, et qu'elle peut quelquefois remplacer avec avantage ; elle a été l'unique instrument des créateurs de la géométrie infinitésimale, Kepler, Cavalleri, Pascal, Fermât, Wallis et Newton; et si son importance actuelle paraît moindre, on doit reconnaître cependant qu'elle a encore un rôle considérable à remplir en éclairant la marche de l'analyse , en la dirigeant dans le choix si important des variables qui conviennent le mieux à chaque question , et lui fournissant ainsi le principe de ses transformations.

APPLICATIONS

Ci. I. Attraction d'une splière sur un point extérieur.

a. L'attraction qu'une couche sphérique homogène exerce sur un point extérieur 0 étant , à cause de la symétrie, dirigée suivant le diamètre OC qui aboutit au point attiré, nous n'aurons, pour la déterminer, qu'à considérer les composantes suivant OC des attractions élémentaires , et à évaluer leur somme. Soit donc r/AB/; la circonférence qui, par sa rotation autour de OC , engendre la sphère qui forme la surface extérieure de la

couche. Menons par le i)oint attiré 0 deux cordes infiniment voisines OAB , Otib; des points A et B menons AP, BQ perpendiculaires sur OC, et par le centre C , CM perpendiculaire sur OAB. Prenons pour élément de volume de la couche sphérique au point A le cylindre ayant pour hauteur e, épaisseur de la couche , et pour base la surface élémentaire engendrée par A a tournant d'un angle infiniment petit r/<} autour ÛQ OC ; si p désigne la densité de la couche que nous supposerons constante,

&£ . r/]; . A/7 . AP

pt . ^/-^ . kn . AP

représentera en A, et

cos AOC =

l'éléniont matériol de la couche

OC

ka . AP OA

OM

sera la composante, suivant OC, de l'attraction exercée par cet élément sur le i)oint matériel O , dont nous prenons la masse i)0iir unité. Mais on a , dans les triangles semblables OAP et OCM, Oka et 0/;B,

AP

CM

ka \M) ka + ^b ka^^h

OA