X-2:^/(Ar^ + B/;)CM
OC
Or, si pa»- lune des extrémités du diamètre CO on mène les cordes DB' et D// respectivement égales à AB et «6, et qu'on abaisse CM' perpendiculaire sur DB', on aura
a7/ +'B = B^, CM ^ CM',
et, par suite,
J(A«-^Bè)CM-=/B'^'.CM' = R.2R = iW,
car l'élément B'^'.CM' de cette dernière somme rej>résente le produit par le rayon R de raccroissement D^' — DB' de la corde DB'. On a donc enfin
OC
2. Attraction (Pun cylindre Jioitiogètic et indéfini sur un point extérieur.
Cl. Évaluons d'abord l'attraction exercée sur un point extérieur a par un pris/ne homogène , indéfini , et dont la section droite e est infiniment petite. Soient d = op la distance du point attiré o à la droite pab qui
représente l'axe du prisme; pt.ab l'élément matériel du prisme adjacent à ab. On aura, pour la composante suivant op de l'attraction exercée par cet élément sur le point o,
cos aop
en posant oa — r. Or, si l'on construit la circonférence op'a'b', réciproque de la droite pab , le point o étant pris pour origine et la puissance op . op' = oa . oa' = ob . ob' étant égale à 1 , à chaque élément ab de la droite correspondra un élément a'b' de la circonférence, et l'on aura, en posant oa' = /•',
ab a'b' ,,, -- = r = a b '
Il viendra donc, en substituant dans dX,
dX = ps . a'b' ces a'oj>\ X = psja'b'. cosa'op'.
Mais, si l'on joint y.»' ^' qui coupe un' en h' sous un angle très-peu différent d'un droit, on voit, en négligeant les infiniment petits du second ordre , que a'b' . cos a' op' — b' h' ., et que d'ailleurs b' h' est l'accroissement de la corde p'a' quand on passe de a' en b' sur la circonférence p'a'b'o. Il en résulte que la somme j a' b' . cos «'Oy/, étendue à tous les points de
la circonférence, est égale à -xop' = — =-,• et que, par suite,
Ainsi, rattrtution est proportionnelle a la section du prisme et en raison ini'crse fie sa distance au jmi/it attiré.
b. Revenons au problème {uoposé, et menons par le point 0 un plan perpendiculaire aux génératrices du cylindre et déterminant dans celui-ci une section circulaire dont le centre est C. Si l'on prend pour élément de volume du cylindre un i)risme droit indéfini, ayant pour base, sur le plan
du cercle C, l'un des éléments superficiels de ce dernier; on verra que l'attraction de chaque prisme élémentaire sur le point 0 est proportionnelle à l'aire de sa base , qu'elle est en raison inverse de la distance du point 0 à cette base et dirigée suivant la droite qui mesure cette distance. Le problème proposé est donc ramené à celui-ci : Déterminer V attraction exercée par un cercle sur un point extérieur, la loi de l'attraction étant celle de la jrdson inverse de la distance. Pour le résoudre, il nous suffira d'évaluer l'attraction exercée sur le point 0 par une couronne circulaire d'épaisseur rfR. Menons, à cet effet, les cordes infiniment voisines OAB, Oab, et désignons par dX la somme des composantes suivant OC, des attractions exercées sur le point 0 par les éléments superficiels adjacents aux points A et B à la fois; on aura, en abaissant CM perpendiculaire sur AB {voir la figure de la page 126),
dY = .pr/R (^ôâ + Ôb) ÔC^-W" VÔÂ + ÔbJ ^^' Or les triangles semblables OAc/, OB/v donnent
Aa Bh Aa-+Bh Ar/-4-B/;
on en déduit
