Tliéorie géométrique des courbes tcuitochrones

a. Un arc de courbe A^O est dit tautochrone lorsqu'il est tel, qu'un mobile abandonné sans vitesse initiale en l'un des points de cet arc , et soumis dans tous les cas à laction des mômes forces , emploie le même temps à parvenir à l'extrémité 0 de cet arc , quel que soit son point de départ.

b. Principe fondamental. — Si un point matériel, soumis à Uaction d'une force constante ou variable suivant une loi donnée, décrit une courbe AaO telle, que la composante tangentielle de la force accélératrice soit à chaque instant proportionnelle à l'arc compris entre la position actuelle du mobile et un point fixe 0 de la courbe qu'il décrit, cette courbe sera tautochrone , et le mobile parviciulra au point O après un

l'3o DES .MÉTHODES EX GÉOMÉTRIR.

li-m])s constant , indcpcmlunt de In /)ositii>n piirtirnlièic ilii point dr départ .

Démonstration. — Imaginons que doux mobiles [»artent en même temps I des |>oints A et a de rare Ac/f): nous ai»jtellerons

♦ ,v arcs jcsidtLs à l'époque / les ares compris entre les *> /^i positions occupées par les deux mobiles à cette

/a, époque et le point 0 extrémité de l'arc, et nous / désignerons par / le rapport des arcs primitifs

- <* » Cela posé , à la fin du premier instant les deux

mobiles auront parcouru les arcs très-petits AA, , rw, , i)roportionnels aux composantes tangentielles -i' des forces qui les sollicitent, composantes que l'on

peut regarder comme constantes pendant le temps très-court dont nous parlons; ces arcs AA,, na^ seront donc, en vertu de l'hypothèse , proportionnels aux arcs primitifs AO, c/0, et l'on aura