TAU J
itégrant pnr i
■apport i
dz
C, C',C" étant des constantes arbitraires.
Si l'on multiplie la première de ces équations par x, la seconde parj', la troisième par z, et qu'on les ajoute, on trouvera 1 équation suivante, entre les eoordonnéesdu point à un instant quelconque ;
Cx + Cy + a'z—o. Le point ne sort donc pas d'un plan passant par l'origine, comme on pouvait lo reconnaître à priori, on observant qu'aucune cause ne tend à faire sortir le point du plan mené par le centre d'action et la direction de la vitesse initiale.
Pour interpréter les équations ( ajj soient r la projection du rayon vecteur mené de l'origine au point mobile, sur le plan XY, et 6 l'angle qu'elle forme avec l'axe des x. Nous supposerons que les angles croissent de l'axe des x positifs vers l'axe des y positifs, de sorte qu'en se plaçant dans f axe des z positifs, on voit s'exécuter de gauche à droite le mouvement du rayon qui décrirait les angles croissants. Nous regarderons les aires décriles par un rayon vecteur, comme croissant dans ce même sens; et il en sera de même pour chacun des autres axes, relativement aux deux autres plans.
Cela posé, on aura l'équation générale
et, par conséquent,
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en désignant par 1" Taire décrite par ta projection r di rajon vecteur du mobile.
Si l'on désigne de même par X et ). les aires déeritcs pa les projections de ce rayon vecteur sur les plaua ZS et ZV les équations (2) donneront
d). C dV C 'II" G"
(3) ). = -Cf, ).'= - C't, l"= ~C"i,
en supposant que les aires commencent avec le temps (.
Ces équations montrent que les aires décrites, à partir de cet instant, par les projections du rayon vecteur dn mobile, croissent proportionnellement au temps. Et comme le mouvement du point s'effectue dans un plan, il s'ensuit que les aires décrites par le rayon vecteur du moLile dans ce plan, sont aussi proportionnelles au temps. La valeur de ces aires peut s'exprimer facilement, en observant que toute aire plane est égale à la racine carrée de la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangulaires. On aura donc, pour l'expression de ces aires,
- ts/C' -^ C'' + C"K
Réciproquement, sî les aires décrites parles projections du rayon vecteur sont proportionnelles au temps, la direction de la force qui sollicite le mobile passe constamment par l'origine. Car alors les équations (3) auront lieu, et, par suitCj les équations (2), qui, différentiées, donneront les équations (1): or ces équations expriment que les cosinus des angles que fait avec les axes la direction de la force, et ceux qui se rapportent à la droite menée de l'origine au point (3^,j)'i z) sont proportionnels, et que, par conséquent, ces deux droites se coiifondeiil.
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2^4 l'I' MOOVEMEWT PRODUIT PAR LES FOKCES,
C'est dans ces deux propositions réciproques que consisle le principe des aires poui' un poinl matériel.
Si le point était sollicilé par des forces dirigées vers deux centres fixes, les équations (i) ne seraient plus satisfaites; mais la première aurait encore lieu en prenant pour axe des z Ja droite qui passe par les deux centres. En effet, la résuiiante des forces auxquelles le point est soumis, coupant constamment l'axe des z, ses composantes parallèles aux axes des x ei des j sont proportionnelles à ces deux coordonnées; d'où résulte l'équation
1 serait de même s i nomlire queleont
■ires a lieu, dans ce 1 la droite qui passe aires étant pris sur
i lieu de deux situé sur une
el, par conséquent, le principe des t cas, pour tout pl/tn perpendiculaire par les deux centres, le centre des cette droite.
Il est évident qu'il centres, on en avait même droite.
Observation. — Cet important principe des aires a été découvert par Newton el expose dans le livre des Principes, Sa démonsfralion n'est pas fondée sur les équations générales du mouvement, qui n'étaient pas connues, cl ce n'est pas en ]es combinant au hasard, comme nous l'avons fait, qu'il y est parvenu. Son génie lui a fait apercevoir que, la force qui tirait le point dans la direction du rayon vecteur ne pouvant déranger son mouvement que parallèlement à ce rayon, le triangle décrit par le rayon vecteur devait avoir la même aire que si cette force n'agissait pas, et le principe est tout' entier dans celle première vue.
199. Expression remarquable de la force dirigée vers un centre fixe, au moyen des éîémenîs de la trajectoire. —
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Celle formule intînitcsimalc est une des plus importantes découvei'tesdc Newton. Pour y parvenir, soit, à une époque quelcontjue, M (fig. 23) la position du mobile sollicilé
Fie- 5Î.
vers le point fixe O, et N sa position après le temps infiniment petit S; NI parallèle à MO, et terminée à la tangente à la trajectoire en M ; enfin NP perpendiculaire à OM. Désignant la force par tp, on aura
Telle est la formule infinitésimale donnée par TVewton dans son livre des Principes : en observant toutefois qu'il n'a pas cherché à déterminer la valeur de la constante qui est représentée ici par 2c*. Il transforme celle expression de différentes manières.
Ainsi, en abaissant de N la perpendiculaire ÎSK sur la normale, et désignant par w Tangle de cette dernière avec
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LES FOBCES.
McosM — MK-
R étant le rayon de courbure de la trajectoire. De là résulte, en désignant par p la perpendiculaire OQ abaissée de O sur la langcnie,
NM
200. Ces formules de Newloii conduisent à une expression différentielle très-simple de la force centrale ©. Prenons, en effet, la formule
et substituons-y à p et R leurs expressions différentiel Jet en coordonnées polaires /■, d, qui sont
Nous oblieudroni
formule importante dont nous ferons usage par la suite, et qu'on déduit ordinairement des équations générales du
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