CHAPITRE

(! retjuaiioli

dx d'^r dj d'y ^ d^

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Fa comme X, Y, Z sont les dérivées parliclles d'une même fonction F(x,j, z), on aura

^Tt^^dt^^lft-^ dt

el l'équation précédente, intégrée entre deux limites quelconques, donnera

a, h, c, h désignant les coordouuées du poiut et sa \iiesse, à la première limite.

On a donné le nom de /brce viw d'un point au produit de sa masse par le carré de sa vitesse.

Ou voit donc que, dans le cas oùXdx-i- YW/ + Z (ia est la différeniielle d'une certaine fonction de x,j, z considérées comme variables indépendantes, si un point matériel est soumis à l'action de forces dont les composantes totales parallèles aux axes soient X, Y, Z, l'accroissement de sa force vive, en passant d'uu point à un autre quelconque, pourra s'exprimer au moyen des coordonnées de ces deux points, quelles que soient la direction et la grandeur de sa vitesse au premier point, quelque temps qu'il mette pour

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aOO DU MOUVEMEKT PRODUIT PAR LES FORCES.

parvenir au second, el quelque ligne qu'il dcetive enlro les deux.

On peut dire plus généralement, d'après Téquation (a), que si le mobile part d'un point quelconque de la surface dont l'équation serait F{x,f,z) = C, avec une vitesse connue h dans une direction arbitraire, lorsqu'il arrivera eu uMpoînldelasurface ayant pour équation F(jc,jr, z) = C, sa vitesse t- peut être délermîtiée de grandeur d'après ces seules données, et indépen dam aient du temps employé, de la ligne décrite, et du nombre de fois que ce point traverse successivement la seconde surface.

L'équation générale de ces surfaces remarquables étant 'F{x,y, s) = c, c désignant une constante arbitraire, elles auront la même équation différentielle

Cette équation exprime que les deux directions dont les angles avec les axes ont des cosinus proportionnels respectivement à X, Y, Z, et ^.r, dj, dz, sont perpendiculaires l'une sur l'autre. D'où l'on conclut que la force dont les composantes sont X, Y, Z est normale à celle de ces surfaces qui passe par le point que l'on considère.

Ainsi les surfaces qui jouissent de la propriété que nous avons démontrée sont perpendiculaires à la force qui solliciterait le mobile placé en un quelconque de leurs points; de sorte que, si elles étaient résistantes, ce mobile serait en équilibre, en quelque point de ces surfaces qu'il fût posé.

On leur donne le nom de surfaces de itifeau.

Si la fonction F(x,)', z) ne peut se réduire à \ pour des valeurs réelles et finies de X,j, z, deux surfaces de niveau ne pourront évidemment avoir aucun point commun . Dans le cas contraire, comme on peut le voir dans un Mémoire de M.Bertrand, le point matériel n'aura pas toujours la mèmeïitesse en revenant à une même surface de niveau;

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il faudra, pour cela, c[u'il ait traversé un nombre pair de fois cliaeiine des surfaces de niveau par lesquelles il passera avant de revenir sur celle d'où il élait parli,

203. Si, outre les forces dont les composantes totales X, Y, Z sont les dérivées partielles d'une fonction des variables x,y, s, considérées comme indépendantes, il y en a d'autres, perpendiculaires à la trajectoire, on parviendra de même à l'équation (a).

Ainsi, la proposition précédente a lieu pour un point une courbe ou une surface fisc,

assujetti a

et sollicité en outre par des forces telles, que

soil une différentielle exacte par rapport à .r,j, z, ce qui n'aurait pas lieu s'il y avait un frottement ou la résistance d'un milieu; car ces forces ne seraient même pas des fonctions données de X,j, z.

204. L'expression lidx-\-Ydj -^Zdz est une différentielle exacte toutes les fois que les forces qui agissent sur le point sont dirigées vers des centres fixes, et que leurs intensités ne dépendent que de la dislance du point à ces divers centres.

En effet, soient a, b,c les coordonnées constantes de l'un quelconque de ces centres ; x,j, z les coordonnées variables du mobile, r leur distance, et R une fonction de /■ qui exprime la force qui agît sur le point donné suivant la droite qui le joint au centre que l'on considère. Les composantes de celte force seront

si elle est attractive : il suffirait de les changer de signe si la force était répulsive; ce que l'on pourrait effectuer en

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28^ ri' MOl.VEMENT PRODUIT P4.R LES FORCES.

changeant seulement E. de signe. Les let-mes qui proviendronl de cette force dans l'expression Xdx -i-Ydy -k-T^dz seront donc, dans le premier cas,

Or, on a