MOU\'EMENT D'UN POINT SDR UNE COURBE MATÉRIELLE
206. D'après le principe de l'inertie, lu mouvement recliligne et uniforme d'un point, quel qu'il soit, même nul, ne peut être modifié cjue par une force étrangère, de quelque source qu'elle provienne; que ce soit d'uue action à distance ou au contact, du clioc d'autres points, ou de la résistance d'une courbe ou d'une surface matérielle, sur laquelle il est obligé de rester. Si ces différentes forces pouvaient être connues en grandeur et en direction, la matière qui compose le point serait dérangée de son mouvement rectiligne et uniforme, par ces forces seules, et l'on retomberait dans le cas précédent d'un point libre sollicité par des forces données.
Nous allons nous occuper d'abord du mouvement d'un point assujetti à rester sur une courbe fixe qui ne donne lieu à aucun frottement, et, par conséquent, ne peut détruire ni produire que des forces normales; nous supposerons en outre que le point est sollicité par des forces extérieures dont la résultante est connue.
Soient
les équations de la courbe donnée; JV la force normale inconnue produite sur l'unité de niasse par la résistance de la courbe, et X, jx, v les angles qu'elle fait avec les axes; le seul effet de la courbe sur le point, étant de produire cette force, on peut faire abstraction de la courbe si l'on introduit cette force ; eu la réunissant à celles qui sont données,
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le point pourra donc être considéré comme libre, et les équalions générales de son mouvemcnl seront, en désignant par X, T, Z les composantes de ia force accélérairice,
d^x li'r 'fz
-y- :=X-MScosX, -4 = Y + Ncos,(., -=Z + Neos-;. lit' dt' ' dt'
La direction déterminée par les angles \, u, v étant perpendiculaire à la tangente, on aura
:, de plus,
On a donc sept équations entre les huit quantités x^y, s, X, f(, w, N, I; et il sera toujours possible d'exprimer les sept premières en fonction de I. Qnand on y sera parvenu, tout ce qui se rapporte au mouvement du point sera déterminé.
Lorsque l'on a
X(/.r +\dy -hZdz = d.^[3:,r.s), les équations précédentes donnent
ch:d'.v -f- dyd'y->- ihd'z ^
nlegrant,
La constante C se déterminera par la valeur delà vitesse u au point de. départ. D'ailleurs, les équations de la courbe, résolues par rapport à x et y, donneront
L'équation précédente deviendra donc
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aS6
DU
=-ORCES.
d'oi
<lc — dz ■!/[!.),
) désig.
lanl une fonclion coimiie de s;
on lirera de M
C'étant déierminé par la valeur initiaie de z. On connaîtra donc ainsi z en fonction de (, et, par suite, x clj le seront d'après les équations de la combe.
En appliquant ces calculs au cas où la courbe est un cercle vertical, on aura à faire une intégration qui exigera l'emploi des séries. Quand le mouvement sera oscillatoire, il sera celui d'un pendule simple. On en trouvera le détail dans tous les Traités de Mécanique. Il y a une courbe qui donne un résultat remarquable, c'est la cycloïde placée de manière que son axe soit vertical. On reconnaît facilement que, dans ce cas, les oscillations ont la mécne durée, quel que soit le point de la courbe d'où parle le mobile sans vitesse initiale. Cette propriété avait fait penser à mesurer le temps au moyen d'un pendule simple dont l'extrémité décrirait des arcs de cycloïde. Mais un pendule simple n'est pas réalisable et offrirait d'ailleurs de graves inconvénients, par les résistances et par la construction même des appareils. C'est pour cela qu'on y a renoncé et qu'on n'emploie que le pendule circulaire; et ce n'est pas un pendule simple qu'on cliertbe à réaliser, c'est au contraire un corps d'une masse assez considérable, et dont les oscillations suivent les mêmes lois que celles du pendule simple, comme nous le verrons plus tard. Ces calculs, au reste, ne sont pas indispensables pour la construction des pendules qui servent à mesurer le temps, et qui se règlent sur le mouvement diurne des astres.
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