CHAPITRE X
DU MOUVEMENT DUN POINT SUR UNE SOllFACE MATÉRIELLE,
207. En supposant que celle surface ne puisse faire naître aucun froiiement, son action ne peut consister (ju'à produire sur le point une force normale, qui peut avoir l'un quelconque des deux sens, à partir du point sur la normale à la surface. Désignons celte force par N, par /, ^, vies angles que sa direction fait avec les axes, et supposons que le point ail une niasse égale à rnnité, les équations du mouvement seront
-"î^X + Ncosi, 'a = ï + Ncos., 'Ç; = Z + «œ.,.
lil- dl- ' dt-
el si F = o est l'équation de ta surface, et qu on pose
Vif
Le double signe de V correspond aux deux sens de la normale, et le calcul fera connaître en chaque point le signe qui conviendra.
Si l'on substitue dans les premières Équations les valeurs
de oosJl, cos/z, I
Élimioant N" entre ces trois équations, on aura deux équatiojisqui, jointes à F(x,y, z) = o, détermi lieront a:,j, z en foiiPtiondeï; et toutes les circonstances du mouvement en résulteront.
Ces calculs, en général impraticables, se simplifient quand on a
C désignant une constante arbitraire, déterminée par l'étal initiai.
En effet, les équations (i) donnent immédialement les deux suivantes :
dV , rfF j
1 dt' •' ilr ■' \dr
rfi: 4-^ — </3 ^ = Z rf.r — X A -f- K V f ^
Or, en différentiani, par rapport à une variable quelconque, ridenlilé
dy __ de
dj:~
En substîiuant ces valeurs dans les équaUojis (2), et remplaçant f^ par 3(f(^x,y, ^) -h C, puis ctiiniDant eiilre elles NV, on aura une équation dîfférenlielle entre a:, y, z, où le temps n'entrera pas, et qui, conjointement avec F[x,j, z) = o, déterminera la irajecloire. Connaissant jj'
et z en fonction de x, et — en fonclion de X, y- z, on ijar- ^ lit 1 ^ ' ' i
viendra facilementà une équation delà formule f/f::^(J'(,r)rfj7,
d'où l'on déduira x en foiietion de î, ei, par suite, toutes
les circonstances du mouvement.
208. Pression exercée sur la surface. — La composante normale de la résultante de toutes les forces appliquées au mobile, en y comprenant l'action de la surface, est clans
le plan osculaieur de la trajectoire, et égale à — ■ Cette dernière force est donc la résultante de la force produite par la surface, qui est normale à la surface et, par suite, à la trajectoire, et de la composante Q normale à la Irajecloire, de la force extérieure qui agit sur le mobile. Par suite la
force produite par la surface est la résultante de - et de la force oppos(îe à Q. Reste à connaître le plan osculateur, qui
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agO I>f MOUVEMEKT PRODUIT PAR LES FOECES,
renferme Sa force-- Si, pour cela, on désigne par 0 l'angle du
plan osculateiir avec la normale à la surface, et par f^ celui de la force Q avec la même normale, on aura la proportion
- :Q :: sin-KsinO.
Celte relation déterminera la direction du planosculateur quand on connaîtra f, R, Q, tj/. Dans le cas particulier où l'on aurait Q ^ o, il en résulterait S := o, et le plan osculateur serait le plan normal à la surface. Ce cas est celui où la force extérieure est nulle, ou tangente à la trajectoire ; il comprend donc celui où il y aurait frottement sur la surface, ou une résistance de milieu. Dans ces divers cas, le plan osculateur do la trajectoire étant constamment normat à la surface, cette ligne est la plus courte que l'on puisse mener sur la surface entre deux quelconques de ses points.
On peut reconnaître directement que lorsque la force e^itérieure est utille ou dirigée suivant la tangente à la trajectoire, le plan osculateur de cette courbe est normal à la surface. En effet, ce plan doit renfermer la tangente à la trajectoire et la résultante totale, c'esl-à-dire une des composantes et la résultante ; il renferme donc l'autre composante, qui est la normale à la surface, et, par conséquent, il est lui-même normal à la surface.
Nous renvojons aux Traités spéciaux pour les applications do la métliode générale à des surfaces particulières. Ces calculs offrent encore plus de difficulté que ceux qui se rapportent aux courbes fixes.
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