CHAPITRE XII
MOUVEMENT RELATIF A DES AXES QUI SE MEUVENT SANS CHANGER DE DiRECTION.
211. Soient x,^, z les coordonnées d'un point mobile M, par rapport à des ases fixes, ausrjuela sont constamment
parallèles les
même point p:
l'origine mobile A. On
lobiles; x',j'^ z' les coordonnées du pport à ces derniers, et a, ft, c celles de les équations
^^' ~^>^—'An^ do'
dy dh dy' dt dt dt
df
' df
dt''
El si l'on construisait à chaque instant par rapport à des axes fines un point M' dont les coordonnées seraient égales à x',y, z', ce point aurait un mouvement absolu identique au mouvement relatif du mobile donné.
Les positions initiales étant données, ainsi que les composantes des vitesses de l'origine et du point donné, oti
connait les valeurs initiales de x.
, ;,-, et par
liie, celles de
t' di' de'
dx' dy' dz ' dt^ di ' dt^
qui constituent l'état initial du point M', Ces
dx' dx da dj dy db dz' dz de
de dt dl ' di '~ de de dl ^ dt dt
On voîl par Li que la vitesse initiale de M', ou la vitesse relative, est la rv.sullante de la ■vitesse initiale de M et de la vitesse initiale de A, prise en sens contraire .
C'est co qu'il esi facile d'établir géomélriqueinent, comme nous l'avons fait dans V Introduction du Cours de Mécanique.
Les équations (3) donnent
d'x'd'-j^ d'à d-f^d'y d'à dH' d'z dj^ ''•' 'dF^'di'~~di'^ ~dF'^dF~~dI'' ~dF^dr~ dt^'
Or, les seconds membres de ces équations sont connus. En
^^ d'x d'y li'z , 1 1 !■
enet, — ■ > — - j — sont les composantes de la lorce acce- ' dl' dt^ dl' «^
léraLriee appliquée au point M ; ce sont donc des fonction*
connues de x,j', z, t.
uant a ,--) ^— i -r-! il y a deux cas a considérer, bi dl' dl' dt' ^
l'on donne le mouvement de l'origine A, ce sont des fonctions connues de (, et les seconds membres des équations (4) sont des fonctions connues de .r, y^ z, t, et, par suite, de x',y', z', t'.
Mais si l'on connaît seulement la force accélératrice qui
donnerait à un point le mouvement même de A, -j—j -^t
-T-^ seront les composantes de cette force, et, par suite,
des fondions connues qui pourront renfermer a, b, c, t. Mais fl, b, c pourront se déterminer séparément, puisque l'on connaît l'état initial de l'origine A et la force accélératrice qui lui est appliquée; on connaîtra donc le
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SJ)6 DU MOrVËMENT PRODUIT TAU LES FOIVCES.
mouvecnewt de ce point, ei l'on renlrt; dans le premier cas,
ou -~} -— ji — sont des lonctjons connues de t. Les seconds
membres des é({uatîons (4) deviennent donc encore des fonctions de x',j', z' , t\ en îes intégrant, on aura x\y\ z' en fonction de (, ei le probtcmc sera résolu.
212. Les équations (4) font connaître immédiatement la force qu'il faudrait appliquer à un point, pour qu'il eût un mouvement absolu identique au mouvement relatif cherché.
Eu effet, dans ce mouvement absolu les coordonnées du point ont les mêmes valeurs que x\y' , z'; les premiers membres de (4) sont donc les composantes de la force accélératrice dans ce mouvement, c'est-à-dire de la force accélératrice relative. Or les premiers termes des seconds membres sont les composantes de la force donnée, les seconds ti'rmcs chaugés de signe sont les composantes de la force accélératrice qui donnerait à un point libre le mouvement même de l'origine; les équations (4) expriment donc la proposition suivante :
La force accélératrice relnlife est la résullaiite de la force donnée et de In force égale et opposée à celle qui produirait le mouvement de l'origine.
Létal initial du mobile dans ce mouvement absolu se déterminerait comme nous l'avons indiqné.
Cette proposition peut encore se déduire de considérations géométriques, coiiim» nous le ferons voir tout à l'heure dans le cas général.
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