CHAPITRE XII J
MOUVEMENT D'UN POINT PAR RAPPOllT A UN SVSTÈMB RIGIDE ANIMÉ D'UN MOUVEMENT CONNU QUELCONQUE.
213. Lorsque le système rigide n'avaitqu'uii mouvement de iraiislaiion, nous avons pu supposer indifféremment que ce mouvement était connu, ou que l'on donnait seulement les forces capables de produire sur un point miileriel le mouveineiit même d'un point du système mobile. Dans le cas actuel, nous supposons connu le mouvement de ce système, parce que le problème de sa détermination d'après des forces données serait trop compliqué, et d'ailleurs nous n'avons pas encore fait connaître le moyen de le mettre en équation. En conséquence, nous prenons comme donné le mouvement de irois axes liés au système ; de sorte que les coordonnées de leur origine, ainsi que les angles formés par ces axes avec les axes^j:e.ï de coordonnées, seront des fonctions connuesdu temps; et la question a toujours pour objet de déterminer en fonction du temps les coordonnées par rapport aux axes mobiles, du point donné qui est sollicilé par une force absolue donnée.
Les équations qui lient les coordonnées du point par rapport aux axes fixes ei aux axes mobiles sont
/ .T^.^ + a.r' ^bj' + cz',
(i) j.^„ + „',^+ôy +c'z',
( z = >; + o".r'-hb''y'+c"z-.
Comme nous l'avons dît, |,iî, ^, «, i,c, a', h', c', a", b", c' sont desfonctioBS données du temps, et il s'agit de trouver
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298 DU MOUVEHEMT PRODUIT PAU I.ËS FORCES.
x'j^', z' en fonction du temps. Pour obtenir des é([uaiions
propres à délerminer ces trois quantités, il suffit de remar-
,, , , . , rf'j: rf'r d'z
quer que 1 on donne les expressions de — î — -i -7-5 qui
sont les composantes de la force accélératrice agissant sur le mobile; ces expressions peuvent dépendre du temps t et des coordonnées X, y, s qui s'exprimeront en x' , y', z', au moyen des équations (1). Ou voit donc qu'en différeniiant deux fois ces dernières, on aura trois équations différentielles du second ordre entre a:', /', z', t. En les intégrant, on aura x',j', z' en fonction de t et de six constantes arbitraires qui se détermineront au moyen des valeurs
. . . ■ , III *^'^' dy' dz ,
initiales de x .y , s .—ri — ! — ; et ces valeurs seront '•^ ' ' rf( dt dt^
connues au moyen des équations {1} et de leurs premières
dérivées, puisqu'on connaît les valeurs initiales iiex,y, z,
"V' -T' -;-■ Ls Pi'oblème seradonccomplétementrésolu. dt dt dt '^ "
La première différeniiation opérée sur les équations (i)
donne
/ ,d^' df' ^dz'\
~ \" Ht "^ ~dt^'^ 'dij'
,db" ,dc"\ 'di'^^'dtj
dt de f
mds membres sont les
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^99 i -7-1 —-1 -r si ,£', r', z' étaient constanisi ce sont donc les com|>osanles parallèles ax, y, z de la vitesse absolue du point du système qui eoïncide avec le mobile, dans la position quelconque où on le considère : les secoudos parties sont les composante!] delà vitesse relative, parallèlement aux axes des x,y, z. Les équations (a) expriment donc que la vitesse absolue du point est la résultante de sa vitesse relative, et de celle du point du système qui coïncide avec le mobile dans la position que l'on considère. Et, par conséquent :
La vitesse redaiive du mobile est la résultante de sa vitesse absolue et de la vitesse, prise en sens contraire, du point du système qui coïncide avec la position que l'on considère du mobile.
C'est ce que l'on peut facilement établir sans calcul. {Voyez Cours de Mécanique.)
214. Les valeurs de -, -, — ^-, - - que fournissent ces dt^ dt' dt^ ^
équations (i) différentiées deux fois, et qui sont les composantes de la force accélératrice relative, présentent une décomposition de cette force, beaucoup plus compliquée que dans le cas où le système n'a qu'un simple mouvement de translation. Cette décomposition offre de l'intérêt, bien qu'elle ne dispense pas des calcnls que nous venons d'indiquer; c'esiM. Coriolîs qui l'a fait connaître, et l'a déduite de
ia lorme des expressions de —, — , —— t — — ■ Mais on peut ^ dt' dt' dt' '^
y parvenir facilement par la décomposition géométrique de la déviation relative.
D'après la définition que nous avons donnée de la déviation, on obtiendra la déviation relative du mobile en une quelconque de ses positions M, en cbercliant sa position
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3ûO Dlï MOUVEMENT PRODIilT PAR. LES FORCKS.
relaiive après un temps inlinimcnl petit â, ut la joiguant à la position qu'aurait sur la tangente à la trajectoire relative, un point partant de M en même temps que le mobile, avec une vitesse constante égale à la vitesse relative dii mobile en M. Elle sera la déviation dans le mouvemeni absolu, identique au mouvement relatif; et en la divisant par — i
on aura l'espressîon de la force accélératrice dans ce mouvement absolu, ou de la force accélératrice relative. Nous allons montrer comment cette déviation relative peut être décomposée en d'autres plus simples, d'où résultera la décomposition de la force elle-même.
Soient M [fig- 24) une position quelconque du mobile, MU sa trajecfoii'e absolue, MU' sa trajectoire relative,
Fig. ./,.
c'est-à-dire la cotirbe qui, liée au système mobile, renferme toujours la position absolue du point; MU, la trajectoire absolue du point du système qui coïncidait avec le mobile en M. Si l'on prend sur les tangentes aux courbes MU', MU, des quantités MT', MT, égales aux espaces que parcourraient dans un temps infiniment petit 0, des mobiles partant de M, l'un avec la vitesse relative, l'autre avec la vitesse du point M du système, ces quantités pourront représenter ces vitesses, et la diagonale MT du parallélogramme T'MT,Ï représentera en direction et en grandeur
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