La direction de la force relative capable de pro

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duire les mouvemcnls relatifs observés élant connue, il restait à déterminer comment varie son intensiié avec la posîiion relative de la planète.

C'est à quoi Newton est parvenu en s'appuyant sur le principe des aires. Il a découvert une formule qui exprime l'intensité de la force centrale, en fonction de quantités infniinient petites, dépendantes de la nature de la trajectoire, et susceptibles d'être transformées de plusieurs manières en quantités finies. Au moyen de cette importante formule, on connaît en chaque point de la trajectoire la valeur de la force si cette courbe est donnée; et si c'est la force qui est donnée, et la trajectoire inconnue, on a une équation entre certains éléments de la courbe ; et la détermination complète du mouvement se réduit à une pure question de calcul iniégral.

Newton a fait plusieurs applications de sa formule, particulièrement au cas où la trajectoire décrite est une ellipse, et où l'un des foyers est le pôle autour duquel le rayon vecteur décrit des aires proportionnelles au temps. Il a trouvé que dans ce cas la force qui fait décrire au point libre cette trajectoire, varie en raison inverse du carié de la distance au foyer. Et, comme la courbe est partout concave vers le foyer, la force est dirigée vers ce point, comme s'il était un centre d'attraction,

La parabole et l'hyperbole donnent des conséquences analogues.

237. Newton s"est ensuite occupé de la question inverse, et s'est demandé quelle courbe décrirait un mobile partant d'une position connue, avec une vitesse connue en graniJeur et en direction, et sollicité par une force dirigée vers un point fixe et variant d'intensité en raison inverse du carré de la dislance. Il démontra que la trajectoire peut être l'une quelconque des trois coniques ; sa nature dépend

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CtfAPlTRE XV. 323

d'une condilion très-simple entre la dislance initiale du mobile au foyer, et !a grandeur de sa vitesse au même instant.

238. L'expression que IVewton trouve pour la force rapportée à l'unité de masse, est le rapport d'une quantité constante pour la même planète au carré du rayon vecteur. Cette constante est égale à un facteur, identique pour toutes les planètes, multiplié par le rapport du cube du grand axe au carré du temps de la révoliHioii.Or, d'après la troisième loi de Kepler, ce rapport ne change pas d'une planète à l'autre; d'où il suit que la force qui agit sur l'unité de masse d'une planète quelconque, est la même à distance égale du soleil.

Et, réciproquement, si cela est, la troisième loi de Kepler en est une conséquence.

Nous pouvons résumer ainsi ce qui précède, en entendant que les forces et les mouvements sont relatifs au soleil ; « La proportionnalité des aires au temps prouve que ia H direction de la force qui sollicite les planètes passe par >i le centre du soleil.

>i Les trajectoires étant des ellipses dont le soleil occupe » un foyer, il en résulte que cette force est en raison i) inverse du carré de la distance.

» Enlia de ce que, pour les diverses planètes, les carrés u des temps des révolutions sont comme les cubes des 11 grands ases, il s'ensuit que, à distance égale du soleil, » l'unité de masse est sollicitée par une force de même

Et comme les mouvements des satellites sont soumis aux mêmes lois par rapport à leurs planètes que les mouvements des différentes pl.'înètes par rapport au soleil, les propositions que nous venons d'énoncer s'y appliquent, et l'on peut dire que les satellites d'une même planète sont

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soliiciiés par une force relative dirigée vers le centre decette planèle, proportionnelle à leurs masses respectives et en raison inverse du carré de !a dislance au centre de celle planète.