ATTRACTION UNIVERSELLE

239. Les planètes, dans l'iniinilé de positions qu'elles prennent autour du soleil, étant sollicitées par des forces dirigées constamment vers le centre de cel astre, il serait bien difficile de se refuser à admettre que la cause de celte tendance réside dans le soleil même, et consiste par conséquent dans une aliraction exercée par la matière du soleil sur celle des planètes, proporliounellement aux masses respectives de ces planètes, et en raison inverse du carré de la dislance.

Admettant cette action du soleil sur la matière qui compose toutes les planètes, il est bien naiiirel de l'étendre aux satellites eux mêmes. Et comme les rayons menés du soleil aux différents points du système d'une planète et de ses satellites peuvent èlre considérés comme parallèles el égaux, les forces produites sur ces corps seront parallèles, el proportionnelles à leurs masses; d'oii il suit que leurs mouvements relatifs ne seront pas altérés par l'action du soleil.

Si donc on néglige toute autre action extérieure à ce système partiel auquel s'étendent les lois de Kepler, on est dans le mûmc cas que pour le soleil et les planètes, el l'on en conclut que les mouvements des satellites autour de leur planète sont dus à une attraction exercée par cette planète sur ces satellites, proportionnellement à leurs masses et en raison inverse du carré des distances.

Maintenant, admettant avec INewton que la loi de l'égalité de l'acUon. et de la réaction, vérifiée par toutes les expériences à la surface de la terre, a lieu pour tous les

Hosted by

corps de la nature, on eoiiclura que les planètes attirent le soleil aulanl qu'elles en sont attirées, et par conséquent proporlionnellement à leurs masses respectives et en raison inverse des carrés des distances. De même les satellites d'une planète l'attireront proportionnellement à leurs propres masses, et en raison inverse du carré de la distance. Pour la ;erre qui n'a qu'un satellite, et pour les planètes qui n'en ont pas, rien ne prouve jusqu'ici qu'elles attirent les rorps proporlionnellement aux niasses de ces corps. Nous en parlerons tout à l'heure.

240. L'attraction s'e.tcrco sur toutes les part/es des corps. — Si l'attraction du soleil sur chaque planète était supposée répartie également sur toute sa masse, il eu résulterait des forces égales pour deux masses égales prises dans des planètes différentes, et placées à égales distances du soleil. C'est une conséquence évidente de la proportionnalité des attractions totales aux masses des planètes.

Or si toutes ces masses égales n'étaient pas réellement attirées chacune avec une égale intensité, il faudrait qu'il s'établît entre elles des compensations, d'où résulteraient des forces proportionnelles aux nombres de ces forces inégales; ce qui est, sinon impossible, au moins peu probable. Et de même si une planète n'attire pas également des parties d'égales masses de ses satellites, il faudra que toutes les masses égales qui composent chacun d'eux et seront sollicitées par des forces inégales donnent pour les sommes de ces forces des quantités proportionnelles à leurs nombres.

Mais l'impossibilité de pareilles compensations n'est pas la seule raison que l'on ait de les rejeter ; et la planète que nous habitons va nous donner des preuves directes, que l'analogie permettra d'étendre aux autres planètes et au soleil lui-même

Eu effet Galilée a démontré, contre l'opinion des pby-

Hosted by

siclens de son lemps, que tous Jes corps abandonnes sans vitesse à la libre action de la pesanieur prennent des moiivemenls identiques : d'où il rësulle que celle force est proportionnelle à la masse, quelle que soit la nalure de la matière. Les légères dîfféri'nces que les corps présentent à cet égard tiennent à la résistance de l'air, et disparaissent entièrement en faisant l'cspérience dans le vide, Galilée est parvenu à cet important résultat, soit en laissant tomber des corps d'une grande hauteur, soit en faisant osciller les corps les plus divers de formes et de nature ; il a toujours trouvé des résultats identiques. Newton a répété ces expériences sur les pendules. Il a fait osciller des corps, entiers ou brisés en un nombre quelconque de parties; it les a renfermés les uns dans les autres, et la durée des oscillations n'a pas été plus changée que l'indication donnée dans ces mêmes cas par la balance. On doit donc conclure de là que le poids des corps, c'est-à-dire l'attraction produite par la terre, est proportionnelle à la masse de ces corps, et indépendante de leur grandeur, de leur forme et de leur nature; et qu'elle s'exerce sur toutes les molécules, intérieures et extérieures.

Ce résultat, ayant lieu à quelque hauteur qu'on fasse l'expérience, doit être regardé comme s'appliquant à tous les points de la lune.

IVIaintenant qu'il est démontré, par des expériences directes, que l'une des planètes attire également toutes les parties de matière ayant des naasses égales, on ne peut se refuser à admettre cette même propriété pour les planètes sur lesquelles on ne peut faire ces expérience?, et dont quelques-unes indiquaient assez visiblement cette propriété, par l'attraction exercée sur leurs satellites, proportionnellement à leurs masses.

Et la même analogie conduit à admettre que le soleil attire également toutes les parties d'égale masse des planètes,

Hosted by

sur lesquelles on sait d'ailleurs que son action est proportionnelle à leurs masses. Quant aux satellites de ces planètes, il est impossible de ne pas admettre que l'action du soleil s'exerce de la même manière que sur la planète dont ils sont voisins; c'est à-dire que l'attraction est la même sur des masses égales prises dans le même satellite, ou dans des saleililes diilerenls, et situées à la même distance du soleil.

Réciproquement, d'après le principe de l'égalilé de la réaction à l'action, le soleil attirant également deux masses égales quelconques, prises dans des planètes ou des satellites quelconques, on conclura que deux portions de matière ayant une même masse quelconque, placées à égale distance du soleil l'attirent également. El, si elles sont placées à des distances inégales, l'attraction sera en raison inverse dos carrés des dislances.

Maintenant les parties d'égale masse d'une planète attirant également le soleil devront aussi attirer également une même masse quelconque de leurs satellites, et réciproquement. Enfin on ne pourrait supposer que le soleil seul fit exception à celte loi générale, et l'on admettra facilement que toutes les parties d'égale masse du soleil attirent également une même masse prise dans une planète ou un satellite, et donne lieu à une réaction égale.

241. Jusqu'ici nous n'avons parlé que des actions mutuelles entre des parties aussi petites que l'on voudra, prises dans le soleil et les planètes ou leurs satellites, ou bien prises dans une planète et un de ses satellites; et nous n'avons pas considéré l'action d'une planète à une autre, ou d'uu satellite à une autre planète, ou à un autre satellite. Mais peut-on supposer qu'une portion de matière prise dans une planète ou un satellite, et qui attire tous les points du soleil, et d'autres encore si c'est un satellite, ou une planète ayant un satellite, peut-on supposer que cette portion de

Hosted by

3a8 DU MOUVEMEMT PttODOIT PAU LES FORCES.

malière sera sans action sur les autres planètes et leurs satellites? Une si entrainaule analogie porte à admettre la même loi d'attractioii entre deux masses appartenant à des planètes quelconques ou des satellites quelconques, qu'il est presque impossible de la repousser, bien que l'on conçoive parfaitement qu'il n'est pas absolument impossible qu'il en soit autrement.

Enfin Newton lui a donné une éclatante confirmation, en prouvant qu'elle explique et permet de calculer les moU' vemenls des comètes, qui constituaient des pliénomènes jusque-là inexplicables. C'est dans ce sens que nous nous croyons le droit de proclamer avec Newton cette loi générale du système du monde:

(1 Dans le système composé du soleil, des planètes, de 0 leurs satellites et des comètes, deux molécules quelcon- » ques s'attirent proportionnellement à leurs masses, et >i en raison inverse du carré de leur distance. »

Les forces qui sollicitent tous les points qui composent le système solaire, étantaînsi connues, et ce système étant considéré comme existant seul, toutes les questions qu'on peut se proposer sur les mouvements de ses difTcrentcs parties, rentrent dans la science générale des forces, et, par conséquent, on peut dire, comme nous l'avions annoncé, que Newton a fait de Vjistrononde une simple branche d'une science de raisonnement.

242. Mais comme dans toute question les résultats ne sont déterminés que lorsque les données en sont complètes, il y en aura dans l'astronomie qui laisseront de l'indétermination dans les résultats du calcul, lorsqu'il y en aura dans les données. Par exemple, si l'on ne connaît pas la loi des densités des différentes couches concentriques qui composent une planète, on sera obligé de la représenter par une fonction inconnue qui pourra entrer dans les résultats, et y

Hosted by

CHiPITIlE XV, 329

laisser une incertitude qui permettra cepciirlant quek^uefois de tirer des conséquences importantes. IVIais cette loi inconnue n'influera pas sur les résultats qui ne dépendent que de la masse totale et non de sa distribution.

liemarque. — Toutes les molécules du système solaire agissant les unes slir les autres, le mouvement relatif d'une planète autour du soleil ne sera pas dû à l'action seule de ce dernier, et tous les autres corps agiront sur elle, et troubleront le mouvement elliptique qui résulterait de l'allraction seule du soleil. On pourra négliger ces perturbations dans une première approximation; mais on ne pourra se dispenser d'en tenir compte dans une seconde, parce qu'elles deviennent sensibles dans beaucoup de phénomènes, et leurs irrégularités s'expliquent complètement par ces causes perturbatrices, de sorte que les dérangements que présentent les mouvements des planètes, de leurs satellites et des comètes, deviennent la preuve la plus convaincante de l'action mutuelle de toutes les molécules du système.

243. Porce relative dp une ■planète et du soleil. — Supposons que cette planète et le soleil existent seuls ; et cherchons la force qui produirait le mouvement relatif de l'un de ces corps par rapport à l'autre, par exemple de la planète par rapport au soleil. Si l'on pouvait regarder ces deux corps comme réduits à deux points géométriques, l'attraction subie par la planète serait le produit des deux masses, divisé par le carré de leurs distances, et multiplié par l'attraclion à l'unité de distance, de deux masses égales à l'unité et réduites elles-mêmes à des points. Mais cette hypothèse est trop éloignée de la vérité pour être conservée, quoiqu'elle ait dû Être faite dans itne première approximation. Heureusement son influence est insensible dans le cas de l'at- Iraelion en raison inverse du carré de la distance, de sorte que cette circonstance ne peut pas introduire de complica-

Hosted by

33o TIV MOUVEMENT PRODUIT PAU LES FORCES,

tion dans la plupart des calculs, et n'a pu nuire à la découverle de la loi.

JVewlon a démoniré, en effet, que l'action d'une couche sphérique homogène, irifiniment peu épaisse, dont tous les points attirent un point extérieur en raison inverse du carré de ta distance, est la même que si toute la masse était réunie en son centre.

Or les planètes sont sensiblement sphériques, et, par des raisons dont nous ne parlerons pas ici, on peut les considérer comme composées de couches homogènes, de densité variable, et, d'après le théorème précédent, leur attraction sur les points extérieurs peut être regardée comme la même que si la masse de toutes ces couches, ou de la planète entière, était réunie au centre. Et, par suite, les actions de deux planètes ou du soleil et d'une planète, etc., peuvent être regardées comme celles de deux points matériels situés aux centres des deux corps, et ayant leurs masses respectives.

Cela posé, si l'on désigne par m et M les masses de la planèie et du soleil, par r la distance de leurs centres et par y l'attraction de deux unités de masse concentrées en deux points à l'unité de distance, l'attracliou du soleil sur la planète aura pour expression >M

et comme la réaction est égale à l'action^ ce sera aussi l'attraciion de la masse de la planète sur celle du soleil.

11 suit de ià que l'unité de masse de la planète subira une

attraction égale à — ç- 1 et l'unité de masse du soleil en subira

Or, d'après le principe du mouvement relatif, découvert par Newton, la force accélératrice relative de la planète

Hosted by

est réellement appliquée, une force égale ei contraire j

dirigée vers la planète. Il faudra donc ajouter celle dernière dirigée vers le soleil, et la planète sera sollicilée vers le soleil regardé comme immobile par une force accélératrice égale à

et l'on raisonnerait de la même manière pour le mouvement relatif d'un satellite et de sa planète.

244. Bemarqiie. — La force accélératrice relative étant plus grande de — ^ que si le soleil était immobile, il s'ensuit queceteffel varie d'une planète à l'autre; et comme la force

qui décrirait autour d'un centre fixe, dans le temps T, r ellipse ayant pour grand axe 2 a, il s'ensuit qu'on aura

et, par conséquent, — varierait d'une planète à l'autre, ce

qui serait contraire à la troisième loi de Kepler. Or cette loi, résultant d'un nombre considérable d'observations, doit être regardée au moins comme extrêmement approchée; d'où il suit nécessairement que le terme m est extrêmement petit par rapport à M, c'est-à-dire que les masses des planètes sont extrêmement petites par rapport à celle du soleil.

Hosted by

332 DU MOUVEMEMT PRODUIT PAa LES FORCES.

245. Mas.^es des planètes. — Il est facile de déterminer le rapport de la masse d'une planèie à celle dii soleil, lorsque cette planète est accompagnée d'un satellite ayant une masse relativement très-petite. En eflet, représentons par M la masse du soleil, par m, m' celles de la planète et de son satellite, par 2«, la' les grands axes des orbites de la planète et du satellite, et par T, T' les temps de leurs révolutions; on aura, d'après ce qui précède,

Or le second membre peut être regardé comme sensiblement égal à —1 parce que m est très-petit par rapport à M, ainsi que ni' par rapport à m. On peut donc écrire

T et T' sont connus par l'observation, et il suffit de connaître une valeur approchée de — pour en déduire, avec

une approximation du même ordre, le rapport de la masse de la planète à celle du soleil. Newton a trouvé, parce procédé, -—y pour le rapport de la masse de Jupiter à celle du soleil. Des procédés plus précis ont donné j^ïï, ce qui en difl'ère très-peu.

2i6. La masse de la terre ne peut se déterminer trèsexactement parla méthode que nous avons indiquée pour les planètes qui ont des satellites, parce que la masse de la lune ne peut être négligée par rapport à celle de la terre ;

CHAPITIÎE XV. 333

îicanmoiiis celle méthode donnera un moyen de vérification lorsque l'on connaîtra le rapport de ces deux masses. Mais on peut parvenir à connaître la masse de la terre, par un autre moyen qui ne saurait èlrc employé pour aucune autre planèie, et qui résulte de la connaissance que nous avons de l'attraction qu'elle exerce sur les corps situés à sa surface. Cette attraction est égale à la pesanteur, augmentée de la composante verticale de la force centrifuge. De plus, il faut avoir égard à l'aplatissement de la terre, et l'on trouve que, sur le parallèle dont le carré du sinus de la latitude est j, et dont la distance r au centre de la terre a pour valeur r^ 636455i, l'attraction G de la terre est sensiblement la même que si elle éiait sphérique et qu'elle eût /■ pour rayon. En la calculant d'après la loi de la variation de la pesanteur à la surface de la terre [lilécanique céleste), on trouve qu'elle a pour valeur 9,81640, ce qui est un peu supérieur à g.

Si donc on désigne par m la masse de la terre, et par J" l'attraction mutuelle de deux unités de masse, placées à l'unité de dislance l'une de l'aulre. on aura

On peut tirer de là la valeur de y, et la reporter dans la formule -=^ — =:f[M +■ m) qui se rapporte au mouvement de la terre autour du soleil. Il en résulte 477'a'Gy'(M + /»)^

Hosted by

et la valeur de la parallaxe du soleil donne

en effectuant les calculs, on trouvera

Il est facile de déduire de là le rapport de la densité moyenne de la terre à celle du soleil. En effet, le diamètre du soleil est égal à 1 10 fois celui de la terre, et les densités de deux corps sont entre elles comme leurs masses divisées par leurs volumes ; d'où l'on conclut facilement que la densité de la terre est à peu près quadruple de celle du soleil.

Si, d'après cela, on calcule la pesanteur à la surface du soleil, on trouve qu'une même masse y pèse ag fois et demie autant qu'elle pèserait à la surface de la terre ; et que les corps, abandonnés à la libre action de cette force, y parcourraient un espace d'environ i45 mètres dans la première seconde, tandis qu'à la surface de la terre l'espace

qu'ils parcourent dans le même temps n'est que - ■

247. Les masses des platjètes qui n'ont pas de satellites ne peuvent être déterminées par le procédé du n" 24S, et l'on a recours, pour cela, aux perturbations que leurs actions muluelles introduisent dans leur mouvement autour du soleil. L'action d'une plaiièie étant proportionnelle à sa masse, on con^on à priori que le trouble apporté par cette action dans un mouvemeul produit par celle du soleil, peut conduire à la connaissance du rapport de la masse de celle planète à celle du soleil. Cette importante question est du ressort de la mécanique céleste, et nous nous bornons à l'indiquer. Ce procédé peut s'appliquer également aux planètes qui ont des satellites, et c'est ainsi qu'on a trouvé Yïïi po"'' ^^ masse de Jupiter.

Hosted by

CHiPlTBE XV. 335

Les masses des satellites d'une même planète pourront de même être comparées à cellesde leurs planètes, au moyen des perturbations que leurs actions mutuelles apportent à leur mouvement autour de celle planèie ; et Ton en déduira les rapports de leurs masses à celle du soleil, puisqu'on connaît celui de la masse de la planète à celle du soleil. 11 y aurait encore ici une exception pour la lerre, qui n'a qu'un satellite; mais on a aussi, ce même avantage dont on a profité dans la recherche de la masse de la lerre ; c'est la connaissance de ce qui se passe à sa surface. En eflet. la lune produit à cette surface des perturbations provenant de l'inégalité des distances de ce satellite aux différents points de la terre. Ces perturbations sont le flux et le reflux de la mer. Comme le soleil produit sur la mer des effets semblables, ou conçoit que la comparaison de ces deux effets doit conduire au rapport des masses de la lune et du soleil. Or celte comparaison est facile par l'observation des marées lunaires et solaires dont les lois sont différentes. Nous nous bornerons à dire que le rapport de la première à la seconde est, dans le port de Brest, 2,3533 (Mécanique céleste); par un calcul que nous ne rapporterons pas, on en déduit le rapport de la masse de la lune à celle du soleil, et par suite à celle de la terre. On trouve ainsi que la masse de la lune est ^ de celle de la terre.

2i8. Marche suivie d'abord par Newton. — Avant d'obtenir la démonstration que nous avons donnée de la loi de l'attraction, Newton l'avait entrevue pardes considérations que nous allons indiquer, et qui, sans avoir le m6mc degré de rigueur, ne laissaient pas que de donner de très-fortes inductions. Les satellites décrivent autour de leurs planètes respectives des orbites sensiblement circulaires, auxquelles 'appliquent les lois de Kepler: et les planètes décrivant

des orbites d'excentricités différentes,

peut supposer,

336 DU MOUVEMEMT PRODÏJIT PAR LES FORCES.

par analogie, (jue les lois de Kepler, qui leur sont communes, s'appliqueraient encore au cas d'orbites circulaires : d'autant plus que les orbites réelles étant très-peu excentriques, on peut avec une assez grande approximation les regarder comme circulaires. Ainsi, on aura des résultats, sinon exacts, au moins fort approchés, en appliquant les lois de Kepler au cas d'otbltes circulaires. Cela posé, la loi des aires indique toujours que la force qui agit sur chaque planète est dirigée vers le centre du soleil. La seconde loi, qui, dans le cas général, prouvait que, pour la même planète, la force accélératrice variait en raison inverse du carré de la dislance, montre, dans le cas actuel, que la vitesse est constante ; car les arcs de cercle sont proportionnels ans secteurs et, par suite, au temps; Or, la force centripète, appliquée à l'unité de masse, a pour valeiir — , v étant

la vitesse, et E. le rayon du cercle; elle est donc constante. Ainsi, dans ce cas particulier, comme on devait le prévoir, la seconde loi n'apprend rien relativement à la variation de la force avec la distance; mais elle en donne toujours l'expression, au moyen du temps T de la révolution entière de la planète et du rayon de son orbite. On a, en effet, 2jrR = vT, et, par conséquent, en désignant par <f la force

centripète ^i et substituant à f sa valeur en fonction de

R et T, on aura

ce qui s'accorde avec la valeur générale ^-— ^ ■ dai

Passons maintenant à la troisième loi, qui, dans le cas général, étendait la loi d'attraction trouvée pour les diverses positions sur une même orbite, aux positions rela-