CHAPITRE XIX. SSg

MOÏIVEMËWT DU CEMTBE DE GTIAVITÉ.

Les trois premières équations de l'équilibre de ces forces sont

w 2"ïr'=2='. 2-^^=2^. l''Ç=l--

Les premiers membres de ces équations peuvent être transformés en introduisant les coordonnées a',,j',, Zt du centre de gravité du système proposé, en entendant par là le point qui, à une époque quelconque du mouvement, deviendrait le centre de gravité du système, si on liait instanlanémenl tous les points entre eux.

En eillet, les coordonnées de ce point satisferont aux équations

(2) Vma: — MjTi, V™j=;Mj,, \"mE=:Mï,,

M désignant la somme totale des masses du système.

Ces équations ayant lieu à chaque instant, on pourra les différentier par rapport au temps, et l'on trouvera

^ ' ^ dt dt ^ dt di -^ dt dt

Cl, en les différentiant de nouveau,

d'on, en vertu des équations {i),

équations qui expriment que les composantes de l'accélé-

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36o DU MOUVEMENT PRODOIT PAU LES FOltCES.

ration du mouvement du ceiiire de gravité, sont identiques à celles que l'on trouverait pour un poinl dont la masse serait M, et qui serait soUicité par toutes les forces données, transportées parallèlemeut à elles-mêmes en ce point. Si donc on supposait un point ayant un masse M, partant de la position initiale du centre de gravité, avec la même vitesse dans la même direction, ses coordonnées seraient déterminées par les mêmes équations que celles du centre de gravité, et ces deux points coïncideraient à chaque instant.

263. Considérons maîntenanl l'étal initial du système proposé, et supposons qu'il soit produit par des forces instantanées appliquées à ce système en repos. Désignons par A, B, C les composantes de celle qui est appliquée au point m, par A', B', C celles de la force appliquée à m', et ainsi des autres, ces forces pouvant d'ailleurs être nulles pour un nombre quelconque de ces points. Nous avons démontré qu'il y avait équilibre entre ces forces et les accroissements instantanés des quantités de mouvement, et, comme elles sont appliquées à des points en repos, ces accroissements seront les composantes mêmes des quantités de mouvement instantanément acquises. Désignons les composantes des vitesses initiales par

il y aura équilibre sur le système proposé entre les forces

il y aura donc encore équilibre en rendant le système rigide, d'oïl césulleronl les trois premières équations

D-fâ.^S^. 24l),=2». S-fâri;^.

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€t, d'après les équations (3) considérées à cet instant,

On voit donc que les composantes de la vitesse initiale du centre de gravité sont les mêmes «qu'elles seraient pour un point ajaiit la niasse M, et sollicité par toutes les forces instantanées qui déterminent les vitesses initiales du système partant du repos, ces forces étant transportées parallèlemeni à elles-mêmes en ce point. En réunissani ces deux propositions, on aura le principe suivant ;

Le mouvement du centre àe gravite d'un système libre quelconque est le même que si Von y réunissait toutes les masses des différents points, et qu'on y transportât, parallèlement à elles-mêmes, les forces instantanées elles forces continues, qui produisent l'état initial et les états subséquents du ^stème.

26-4. Il résulte de là que si aucune force extérieure n'est appliquée au système, et, plus généralement, si les forces qui y sont appliquées se détruisent quand on les transporte en un même point, le mouvement du centre de gravité est reciiligne et uniforme. Sa direction est donc celle de sa vitesse initiale, et, par conséquent, de ia résultante des forces instanlanées qui ont mis le système en mouvement; ou encore, des forces instantanées qui lui donneraient, à un instant quelconque, le mouvement dont il est animé.

Lorsque les points du système exerceront les uns sur les autres des actions réciproques, égales et contraires, continues ou instantanées, le mouvement du centre de gravité n'en sera pas altéré, puisque ces forces, iransporlées en ce point, s'y détruiraient deux à deux. Ainsi des chocs ou des liaisons subites établies entre plusieurs corps du système, ou encore des explosions intérieures, produisant

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nécessairement des actions égales el conlraires, ne sauraient modifier en rien le mouvement du cenire de gravité.

C'est en c

ela que consiste le principe de la conseivalion

du mouve

ment du centre de gravité.

II est ,

essentiel d'observer <(ue loules lès proposiiions

précédentes sont indépendantes de la des lois de leur action.

FEINCIPE DE L4 COMSERVATIOM DES MOMEMTS ET DES AIIVES.

260. Considérons maintenant les trois dernières équations d'équilibre, qui expriment que les sommes des mo-

menls des forées X — m— , Y~m-^ ■ Z — m-;-, tic, di' dt' di' '

par rapport aux trois axes, sont nulles. Ces équations sont

et peuvent se mettre sous la forme

Ces équations ont lieu à chaque instant du mouvement; elles expriment que les sommes des moments des forces données, par rapport aux trois axes, sont égales à celles des moments des forces qui produiraient sur les points libres le mouvement qui a lieu.