CHAPITRE XIX
les seconds membres des équations (i) sont nuls. Cela atii'a lieu d'abord si les forces X, Y, Z,.., sont toutes nulles, c'esl-à-dire si le système ijui a été mis eu mouvement est abandonné à lui-même, sans aucune action étrangère.
Cela aura lieu encore si les points sont soumis à des actions qui seraient en équilibre sur le système rendu rigide; car ces seconds membres sont les sommes des moments des forces par rapport aux axes ; et ces sommes sont nulles si les forces sont en équilibre. Cela comprend le cas d'actions mutuelles égales et de sens contraires, et, par conséquent, de chocs quelconques entre les diverses parties du système.
Enfin, ces seconds membres sont encore nuls si toules les forces appliquées aux divers points du système passent par un même point, choisi pour origine des coordonuées. En elfet, les composantes X, Y, Z d'une quelconque d'entre elles étant proportion neiles aux coordonnées du point d'application, on aura
j-Z — sY = o, sX — jtZ^o, jY--7X = o.
On voit même qu'il suffirait que les forces eussent une résultante passant par l'origine. De sorte que les seconds membres des équations (i) seront nuls toules les fois que les forces seraient en équilibre sur le système rendu rigide, et lié au point fixe qui a été pris pour origine.
Le cas dont nous allons nous occuper a donc encore une assez grande généralité.
Les équations (i) deviennent, dans cette supposition,
Hosted by
364 DU MOtrVEMEMT PRODUIT PAR LES FORCES.
intégrant par rapport à t, et représentant par c, J, constantes, on obtiendra
2/ as ay
Jr
Les premiers membrps de ces équations sont les sommes
des moments, par rapport aux axes, des forces dont les
composantes seraient exprimées pour chaque point par
dx dr dz 1 . .. , ~
m— -) m-—-, ni — -, c est- a- aire des lorces instantanées, dt dt at '
qui produiraient sur chaque point libre, ec partant du repos, le mouvement dont il est animé.
Ainsi les équations (3) expriment que les sommes des moments des quantités de mouvement qui animent le système à un moment quelconque, estimées par rapport à trois axes rectangulaires, sont constantes; et que, par conséquent, il en est de même par rapport à toute direction. On, en d'autres termes, si, à un instant quelconque, on considère les forces instantanées qui produiraient sur chaque point libre, et partant du repos, le mouvement dont il est animé; que l'on décompose chacune de ces forces eu trois autres, dirigées suivant les axes des coordonnées, et en trois couples, ayant ces mêmes directions pour axes : la somme des moments des couples dans chacune de ces directions sera constante; et, par suite, l'axe du couple résultant sera constant en grandeur et en direction.
C'est en cela que consiste le principe de la conservation des moments. Il subsiste, quelles que soient les aclions mutuelles qui viendraient à naître entre des points du système, comme par exemple si deux points étaient liés subi-
Hosted by
CHAFITAS XIS. 365
tement l'un à l'aulre; si une pariîe du système, d'abord gazeuse, devenait liquide, puis solide, pourvu que cela s opérai par des actions deux à deux, égales et contraires; ou encore, si le changement de température de ditléreuis points d'un système changeait leurs actions mutuelles, et, par suite, leurs distances. Ces diverses circonstances se présentent dans le système du monde.
Il est inutile de rappeler que les sommes des momentt seraient les mentes pour tout système de forces instantanées, produisant sur le système proposé le mouvement existant, puisque, d'après le principe de d' jilembert, ces forces seraient en équilibre avec l'autre pris en sens contraire, sur le système tel qu'il est, et aussi apiès qu'on Vaura rendu rigide.
267. Il résulte de ce qui précède que si, à un instant quelconque, on considère comme des forces les quantités de mouvement qui animent les diliërents points du système, et qu'on les compose comme si elles étaient appliquées à un système rigide, on trouvera toujours la même résultante et le même couple résultant, par rapport à une même origine.
Si l'on applique à ces forces les propositions qui ont été établies dans la théorie de l'équilibre relativement à la réduction d'un système quelconque de forces, on obtiendra les conséquences suivantes :
Lorsqu'un système libre quelconque est sollicite par des forces qui se détruiraient mutuellement s'il devenait rigide,
La somme des forces représentées par les quantités de mouvement de ses diflerents points, estimés dans une même direction, est constante;
Le centre de gravité du système se meut parallèlement à la résultante des quantités de mouvement, transportées en un même point;
Hosted by
La somme des moments de ces quantités de mouvemeni
par rapport à une même droite est constante.
Si l'on considère ces moments par rapport à toules les droites qui passent par un même point de l'espace, celle pour laquelle la somme est la plus grande est invariable : c'est Taxe du couple résultant des quantités de mouvemc:nt, relatif à cette origine. Cette direction, ainsi que la valeur du moment total correspondant, sont les mêmes pour tous les points de la parallèle à la résultante, menée par ce même poiut. La direction peut être la même, sans que le mouvement soit le même; c'est lorsque les forces représentées par les quantités de mouvement sont réductibles à une force unique. Dans ce cas, tous les points du plan mené par cette force et le point que l'on considère, donneront une même direction pour l'axe du moment maximum ; mais le moment ne sera le même en grandeur et en direction que pour les points d'une même parallèle à la résultante.
Il existe un axe central unique, parallèle à la résultante, et tel que pour tous ses points sa direction est celle de l'axe du moment maximum ; et ce moment est moindre que le maximum relatif à tout autre point de l'espace. 11 se détermine facilement dès qu'on connaît la résultante et le couple résultant relatif .i une origine donnée. Dans le cas où le système des forces représentées par les quantîlés de mouvemeni est réductible à une force unique, la droite suivant laquelle elle agit est l'axe central.
268. Conservation des moments dans le relatif. — Supposons maintenant que les axes auxquels on rapporte la position des points, se meuvent en restant parallèles à eux-mêmes, le mouvement relatif sera identique au mouvement absolu qu'on obtiendrait en partant d'un état initial identique À l'état relatif initial, et intro-
Hosted by
duisani les forces fictives, déterminées précédemment. Dans le cas actuel, où les axes n'ont qu'un mouvement de translation, les forces fictives se réduîronl, pour chaque poîiit du système, à une force accélératrice égale, parallèle, et de sens contraire à celle qui doniieraît à un point matériel libre le mouvement que suit lorigiiie des a\es mobiles.
Lorsque ces forces réunies aux forces données seront en équilibre sur le système rigide, ou donneront une résultante passant constamment par l'origine mobile, le principe de la conservation des moments aura lieu dans le mouvement relatif.
Supposons toujours que les forces données soient eu équilibre sur le système rigide. 11 sera nécessaire alors que les forces fictives soient en équilibre sur ce même système, ou bien qu'elles donnent une résultante qui passe constamment par l'origine mobile.
Or, ces forces se composent en une seule, appliquée au ecnire de gravité du système, parallèle et de sens contraire à la force accélératrice qui produirait le mouvement de l'origine, et égale au produit de cette force par la masse du système. 11 est donc nécessaire et suffisant que cette dernière force soit nulle, pour que les autres soient en équilibre. Dans ce cas, l'origine a un mouvement rectiligne uniforme, entièremeut arbitraire. On obtient ainsi la proposition suivante :
Lorsque les forces appliquées à un système libre s'y détruisent lorsqu'il défient rigide, le principe de la conseruation des moments a lieu dans le mouvement relatif à tout système d'axes qui se meuvent parallèlement à eux-mêmes, de manière que leur point de rencontre ait un mouwcment quelconque rectiligne et uniforme.
Le centre de gravité du système ayant, d'après l'hypotbèse, un mouvement rectiligne uniforme, il s'ensuit que le
Hosted by
368 DTJ MOUVEMBMT PRODUIT PiR LES FORCES.
principe a lieu pour un système d'axes de directions constantes et dont l'origine coïncide constamment avec le cenlre de gravité du système.
Le même principe aura encore lieu lorsque la résultante des forces fictives, au lieu d'être nulle, passera constamment par l'origine; ce qui exige que la droite meni^ par le centre de gravité du système, parallèlement à la force accélératrice de l'origine, passe toujours par cette* origine
On peut donc énoncer celte seconde proposition :
Le principe de la conservation des moments a lieu, dans le mouvement relatif, lorsr/iie les axes se déplacent parallèlement à eux-mêmes, et que la force qui produirait le mouvement de Vorigine passe constamment par le centre de gravité du système.
Ce principe a donc lieu dans le cas particulier où l'origine a un mouvement arbitraire sur la droite que décrit le centre de gravité.
Cette dernière proposition renferme, comme cas trèsparticulier, une des précédentes, où l'on supposait que l'origine était au centre de gravité lui-même.
On peut remarquer que le principe démontré dans ce numéro renferme celui du numéro précédent. Il suffit, pour l'obtenir, de supposer nulle la force dirigée vers le centre de gravité.
269. Cas où le moment a la même ■valeur que si l'origine était immobile. — Les deux propositions précédentes se rapportent seulement à l'invariabilité des moments relatifs; mais on pourrait ajouter encore la condition que ces moments fussent les mêmes que si l'origine restait ea repos. Voyons s'il est possible d'y satisfaire.
Prenons pour axes fixes des X,y, z une des jKisî lions des axes mobiles; soient a, 6, y les coordonnées de l'origine
