CHAPITRE XIX

mobile, à une époque quelconque. La somme des momenis, par rapport à l'axe des x, sera

La somme des moments relatifs à l'axe mobile parallèle au

précédent, sera

On aura de même les moments relatifs aux deux autres axes, fixes ou mobiles.

Or, si l'on désigne par ;r,,y,, z, les coordonnées du centre de gravité, et par M la masse loiale du système, la différence des expressions (a) et (è) se réduit à

Il s'ensuit que pour que les deux expressions {«) et (&) soient égales, il faut que l'on ait

' rf/ ^' dl^^ di dt dt ' dt

Or, on satisfera d'une manière particulière à cette équation en posant séparément

^' ^ ~ ■''' dï ~ "' ' 'di di~'*" dt ''dt~ '

ou

y,l z, '.'. dSl dy, 6 1 y :; dy, ; dz,, ^ '. f ',', d& : df .

En faisant de même pour les deux autres axes, ou voit qu'où satisfera à toutes les conditions en posant

o.:^:i y. d3.:d?.:d-i •.: dj:,:dy,:dz,:'. x,'.y,:i,,

ce qui exige seulement que le ceatre de gravité et l'origine

Hosted by

5yO DU HOirVEHEHT FHODSIT PAU LES POHCBS.

se meuvent sur une même droite passant par le point qui a été pris pour origine fixe.

On obtient ainsi la proposition suivante :

Lorsque l'origine se meut d'une manière quelconque sur la droite décrite par le centre de gravité du système, les moments relatifs ont (a même valeur que si cette origine restaitjixe.

On en déduit, comme cas particulier, cette autre proposition :

Les moments relatifs à des axes de directions constantes qui se meuvent, et se coupent au centre de gravité, sont les mêmes que si ces axes restaient immobiles dans une quelconque do leurs posilioiis,

270. Conservation des aires, — Les équations f3) peuvent être envisagées sous un autre point de vue, et démontrent une propriété géométrique remarquable du mouvement en qiieslion. En effet, si l'on considère l'aire conique décrite par le rayon vecteur mené de l'origine au point dont les coordonnées sont x,j', z, elle se projette sur les plans coordonnés suivant les aires décrites par les projections de ce rayon, et dont nous allons calculer les expressions.

Soit 9 l'angle formé avec l'axe des y positifs par la projection r du rayon vecteur sur le plan YZ, et qui tourne de l'axe àes y positifs vers Taxe des z positifs, ce qui est le sen< direct par rapport à l'aTte des x positifs; on aura

tangS = -) les signes de toutes les quantités étant pris de

la manière ordinaire.

On tire de cette équation

<tB ydz — zdy

cos'fl ~ 7' ^ et, comme y = rcosO, on aura

Hosted by

chatitut XII. 371

Donc j^z — z-dy-e&t le double de la ^Ji (réren tielle de l'aire -décrilc par le rayon r; elle est de même signe que dd, et, par conséquent, posâtive quand le mouvement est direot, cl négative quand il est rétrograde.

Or, sil'axede l'aire plane infiniment petite, décrite dans l'espace, fait uii angle aigu avec l'axe des x, la proj«ctîon du rayon vecteur snr le plan YZ, qui est d'ailleurs un plan quelconque, aura un mouvement direct; rt si l'angle est «btus, ce mouvement sera rétrograde : donnydz — sdy est égal, en grandeur et en signe, au double de l'aire infint- Hient peiitedécrile dans l'espace, multipliée par le cosinus de l'angle formé par Taxe de celle aire avec l'axe des X positifs.

Cela posé, si Ton désigne par ), V, i" Ips sommes des aires déciiies.par les projections des rayons vecteurs sur les ,plans coordonnés, et multipliées chacune par la masse du point correspondant, les équations (3) pourront être mises sous la forme

l=icl, \'=^c't, \":=c"t,

en -estimant les aîrws à partir'de t-^^n.

Ai«si, lorsque les points d'un système libre ne sont aou- Biis qu'à leurs actions mulueiles, ce qui comprend les chocs entre les divers points du système; et, ^lus généralement, lorsqu'ils sont soumis à des forces qui seraient en équilibre sur le système devenu rigide, et lié invariablement à l'origine, ce qui comprend le cas de forces quelconques dirigées vers l'origine; la somme des projections sur un plan quelconque, des aires décrites par les rayons vecteurs de tous les points, multipliées respectivement par les masses de ces points, est proportionnelle au ïemps, pourvu que l'on re-

Hosted by

372 DU MOUVEMENT PRODUIT PAB LES FOBCES,

garde comme positives les aires décrites d'un mouvement direct, et comme négatives celles qui sont décrites d ud mouvement rétrograde. C'est en cela que consiste le principe fie la conseivation des aires. On volt qu'il ne diffère que par la forme, du principe de la conservation des monienls.

274. S'il y avait deux centres d'action, lors même que l'un d'eux serait pris pour origine, les seconds membreS' des équations (i) ne seraienlplusnuls. Mais l'un d'eus disparaîtra si l'on prend pour axe des z la droite qui passe par les deux centres fixes ; car on aura

^Y-jrX =

Donc, dans ce cas, le principe a lieu seulement pour lesprojections sur un plan perpendiculaire à la droite qui joint les deux centres d'action; et les couples pi'ovenant desquantiiés de mouvement du système, décomposés suivant les trois axes, donneraient un couple constant suivant l'axe qui passe par ces deux points,

272. Plan invariable. — Si l'on cherche le plan sur lequel la somme des projections des aires multipliées par les masses est la plus grande, on trouve, d'après les théorèmes démontrés dans les éléments, que les cosinus de» angles p, ç, r que la direction de son axe forme avec lesaxes de coordonnées, sont

cos/> = — .^^ ,

Hosted by

APITRE XIX, 373

ÏSy = -

La direction de ce plan est donc indépendante du temps, et Laplace, qui l'a reconnu le premier, lui a donné le nom de plan invariable. Les équations (3) montrent qu'on pourra le déterminer si, à un certain instant, on connaît les masses des différents points du système, leurs positions et les composantes de leurs vitesses. Les actions mutuelles des points, et les chocs qui peuvent survenir entre eux, ne changent pas la direction du plan invariable, puisque les seconds membres des équations ne cessent pas d'être nuls. Il en est de même s'il y a un centre fixe d'action, ou un point fixe, pourvu qu'on le prenne pour origine.

On voit que ce plan n'est autre chose que celui du couple résultant des quantités de mouvement; et toutes les propositions qui ont été établies pour ce dernier s'appliqueront identiquement à l'autre. Nous nous dispenserons de les rappeler, et nous renverrons pour beaucoup d'autres détails intéressants aux Traités spéciaux, et surtout aux Ouvrages de W. Poînsot.

273, Application au système du monde. — En considérant le soleil, les planètes et les satellites comme sollicités seulement par leurs actions mutuelles, le centre de gravité de ce système se meut uniformément en ligne droite, avec une vitesse qui dépend de celles qui ont été imprimées à tous ces corps, lorsqu'ilsont été abandonnés à eux-mêmes. Comme nous ne connaissons aucun point fixe, si nous vou-

Hosted by

374 DU MOUVEMENT PIIOOUIT- PAR LES rORCES.

Ions prendre une origine des aires qui donne pour le plau du maximum des aires une direction invariable, il faul choisir un poinl qui se meuve paratlèlemenl à la droiteque décrit le centre de gravité ; et comme celte dr(

pas connue.

il faudra choisir le centre de gravité lui

Le plan du couple résultant des quantités du mouvement relatives, ou, en d'autres termes, celui du maximum des aires relatives, pourra se déterminer à une époque quelconque ; et comme il sera toujours le même, si l'on y rapporte tous les points du système, il pourra servir à comparer les observations astronomiques faites aux époques les plus éloignées.

Il est bon de remarquer que ce plan, étant indépendant de la grandeur des actions mutuelles, ne changerait pas, lors même que la loi d'attraction de la matière varierailîil est aussi indépendant des changements qui peuvent survenir dans la figure des corps célestes, parte qu'ils proviendront toujours de forces égales deux à deux et de sens contraire. Les panies liquides ou gazeuses pourraient se lier invariablement à la partie solide d'une planète; les planètes pourraient se lier entre elles ou se choquer d'unemanière quelconque; elles pourraient être brisées par des. explosions, sans que ce plan fût dérangé.

Il resterait encore le même si l'on supposait tous les c<»ps dtt système sollicités par des forces paraltèles el proportionnelles aux masses; car les mouvements rapporté» à trois axes menés par le centre de gravité dans des dircctifflisconstaftlcs, no seraient pas altérés; et, par conséquent, les aires projetées sur ces plans resteraient les mèmes-