ÉQUATION DES FORCES VIVES

274, Cette équation s'obtient en considérant un déplacement virtuel particulier, qui n'est pas toujours rompatible

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CBAPITBE XIX. 375

avec les liaisons du sjstètne. C'est celui <{ui coiaciderait avec le déplacement qui s'opère pendant un temps infiniment petil, dans le mouvement réel de ce système.

Pour reconnaître quand ce déplacement virtuel est permis, soit L=:o une des équations de condition données. Les déplacemeuts virtuels satisferont à l'équation

rfL . rfL , rfL , rfL , ,

dx ily di dii

et lors même que L renfermerait la variable t implicilement, on ne la ferait pas varier dans celte équation, puisque les déplacements virtuels se rapportent au même instant.

Si mainienant on désigne par dx^ cfy, dz,. ■ ., les accroissements infiniment petits que prennent les coordonnées pendant le temps dt dans le mouvement effectif du système, l'équation L ^ o devant constamment être satisfaite, l'accroissement de son premier membre, après le temps dt, doit être nul, ce qui donne, en supposant, pour plus de généralité, que la variable t y entre explicitement,

rfL , rfL , rfL . (/L , rfL dt dx dy dz d£

Or ces deux équations seraient contradictoires si l'on prenait

3x^dx, Sr T=dy, Si=^dz,. . . ,

, . . . ., dL

et cette équation ne sera permise qne si 1 on a — =1 o,

quel que soit (. D'où l'on conclut qu'on peut prendre pour déplacement virtuel le déplacement infiniment petit que subissent eu même temps les points du système, en continuant leur mouvement, dans le cas seulement où aucune des équations de condition ne renferme le temps d'une manière explicite.

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376 DU MOUVEMEKT FRODDIT PAR LES FORCES.

Supposons donc (ju'il en soil ainsi, et, dans l'équation générale

faisons

Sx = rfj', Sx =^ ''/) ^s = dz,, il vient

Or le premier membre est la moitié de la différentielle de

^ \ df di' ^ dt'i Zi '

('désignant la vitesse du -point dont la masse est m; et par conséquent l'équation précédente peut s'écrire ainsi :

(■) Ij'^m^^'^CI.dT + Ydr^ïdz).

Elle montre que l'accroissement de la demî-soTnme des forces vives de tous les points dans un intervalle de temps infiniment petit, est égal à la somme algébrique des quantités de travail des forces données, développées dans ce même intervalle..

275. Lorsque l'expression ^ (X'^J^ +^4^'+ ^''^) ^^^ la différentielle exacte d'une fonction ç de x. jr, 3, x', j', z',..., considérées comme variables indépendantes, on. pourra intégrer les deux membres de l'équation précédente, eutre deux époques quelconques, et l'on aura

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