CHAPITRE XIX
Ainsi, dans ce cas, l'accroissement de force vive peut se déterminer dès que l'on connaît les positions de tous les points, aux deux époques que l'on considère ; et toutes les fois que le système repassera par une même position, la somme des forces vives reviendra la même.
■Si les forces X, T, Z sont nulles, le second membre de l'équation ( 2) est nul, et la somme des forces vives est constante. C'est en cela que consiste Je principe de la conservation des Jb y ces vives.
276. Si tous les points du système sont soumis à l'action seule de la pesanteur, on aura
X = O , T = o , Z = —gilm,
en prenant l'axe des z positifs en sens contraire de la pesanteur. L'équation des forces vives deviendra donc, en désignant par z, le z du centre de gravité du système, et par M sa masse totale :
-ïM(.,-!.).
La somme des forces vives ne dépendra donc que de la hauteur du centre de gravité du système; et elle redeviendra la même toutes les fois que ce point repassera par le même plan horizontal.
277. Lorsque ce système passe par une position où il serait en équilibre si ses points n'avaient aucune vitesse, on
y m{X3j' +YSx •+■ ZSz) = o
pour tous les déplacements virtuels. Et, comme ou peut prendre
Sx=^dx, Sy^=dy, Sz=:dz,
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il s'ensuit
2{X<r -i- Ydx + Zdz) = 0,
et, par conséquent, le second tniimbre de l'équation (2), ayant sa différeatielle nulle, sera, en général, maximum ou minimum relativement à toutes les valeurs par lesquelles il passe suecessivement. Ainsi, la somme des forces vives du sjslème obtient ses valeurs maxima ou minîma, lors<]«e le système passe par des positions où il serait en équilibre, si ses points y étaient placés sans vitesse.
278, Nous allons démontrer maintenant que l'espresgion
y (X.i.K + Trfj + Zih)
est une différentielle exacte quand les forces que l'on y considère sont des actions mutuelles entre les points du système, proportionnelles aux masses de ces poinls, et dépendant de leurs distances seulement.
En effet, soient x, j, z, 3f,y', z' les coordonnées de deux poinls dont les masses soûl m, m', et dont la distance esty. Leur action mutuelle aura pour expression nim'F, F désignant une fonction de /'seulement, et les trois composantes de l'action exercée par m' sur m seront, en la supposant attraclive,
„„'e±-^, „m'F-^, mm-f-yr-.
et les termes provenant de ces composantes dans
"SiXdx -hYdy + Zdi) seront
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Les termes provenant des composantes de l'action de m
■i' seront
/ on les rénnit, 011 a
z'!(rf.-
ce qui se réduit à — mni'Ffff, en ayant égard à l'équaiion
On aurait trouvé -f- mm'FdJ dans le cas d'une aciion répulsive. Ainsi, tous les termes provenant des actions mutuelles des points, seront des différentielles exactes, quand ces actions ne dépendront que de la distance ei seront proporiionnelles aux masses; el généralement quand elles seront égales el opposées.
Nous avons démontré précédemment qu'il en était de même pour toutes les forces agissant vers des centres fixes, proportionnellement à une fonction de la distance seulemenl.
Mais le tbéorème n'aurait plus lieu s'il existait des résisiaiices de milieux ou de frottement : les forces X, Y, Z dépendraient alors, soit des composantes de la vitesse, soit de la pression contre les surfaces ou les lignes qui produiseot le frottement, et
ne serait plus une différeitlielle exacte.
Ou observera que la différentielle — mm'Vdf, qui se rapporte aux attractions mutuelles, est négative si ///'est positif, et positive si df e&l négatif. Donc les attractions mutuelles donnent un accroissemenl dans la somme des forces vives
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quaud les poinis se rapprocheni, et une diminution quand ils s'éloignent. De même, si les actions sont répulsives, la sommi; des forces vives croîtra si les points s'éloignent, et décroîtra s'ils se rapproclienl.
279. La somme des forces vives n'est pas altérée par le choc des points du système entre eux, lorsque les corps qui se choquent repassent après la compression par les mêmes états que pendant qu'elle s'opérait, et que la force répulsive qu'ils exercent l'un sur l'autre est la même pour les étais semblables; car alors on a des actions mutuelles qui ne dépendent que des distances des points entre lesquels elles ont Heu.
Mais il n'en est plus de même, comme nous allons le voir, quand les corps qui se choquent ne satisfont plus à cette condition, c'est-à-dire quand ils ne sont plus parfaitement élastiques.
280. Perte de forces vives prodiùle par le choc. — Supposons queles corps qui se choquent soient entièrement dénués d'élasticité, el désignons par a, b, c les composantes de la vitesse du point quelconque m avant le choc,ct par A, B, C leurs valeurs après le choc qui a lieu entre des parties quelconques du système.
D'après le principe de d'Alembert, que nous avons démontré applicable aux forces instantanées, il devra y avoir équilibre entre les forces de choc, qui sont deux à deux égales et directement opposées, et celles dont des composantes seraient exprimées pour chaque point par
dx dy di
~ "dt' rfî ' di'
ou, d'après les notations précédentes, par
Or, en appliquant le principe des vitesses virtuelles, on obtiendra une équation indépendante des forces inconnues que produit le choc, si l'on prend pour déplacement virtuel celui qui s'opérera réellement après que le clioc sera terminé. En effet, les corps cesseront d'agir l'un sur l'autre lorsque leur vitesse sera devenue la même dans le sens de la normale commune; donc alors les moments virtuels des deux forces égales et contraires seront égaux et de signes différents ; il est donc inutile d'y avoir égard dans la somme totale, et l'on aura l'équation
^,„[[a ~ A)d:c ^ {b -B)dj +{c + C)<lz] = o.
Or
di: = A<lt, d/= Bdl, elz= Cdt;
donc
^»i (o A -f- èB + cC — A'. — B^ — C) = o.
Soient
a=-)- t' + c' = i.'. A' -i-B' + C" = V', („A)=-4-(i-B)=+.{c-C)= = < d'où
l'équation précédente devient alors
ce qui prouve qu'il y a une perte de force vive, égale à la somme des forces vives relatives aux vitesses perdues. Cette proposition est connue sous le nom de lïiéoréme de Carnol, L'auleur l'a étendu au cas où les corps qui se choquent ont un degré quelconque d'élasticité; mais la difficulté de connaître exactement ce degré en rend l'emploi presque impossible, dans l'état actuel de la science. Pour qu'on en
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ooa Dtr MOUvEMEHT produit par les forces.
pût faire usage avec quelque confiance, il faudrait faî de nombreuses expériences , dont on ne s est pas occupé.
La perte de forces vives étant Vmii'' dans le cas de corps
sans élaslicilé, si l'on considère le système immédiatement avant et après le clioc, les points n'ont pas changé sensiblement de position. En désignant donc par x,y^ z, x',. . . , les coordonnées de ces points, au moment où les corps viennent en contact, l'équation {2) deviendra, en ayant égard à la perle instantanée de forces vives,
Les équations {2) et (3) sont très-utiles dans le calcul de l'effet des machines. Nous nous bornerons à en indiquer cette application, dans les détails de laquelle nous ne pouvons entier.
281, L'équalion(a) prend une forme remarquable quand on y introduit les vitesses des points par rapport au centre de gravité du système.
En et (et, soient .r,)-, z les coordonnées d'un quelconque de ces points par rapport à des axes fixes; ^, fl, C celles du même point par rapport au centre de gravité : on aura
x = ^, + ^, j=j,-H^, z = t, + i; et, par suite,
X désigne par u la vitesse du centre de gravité, jwr V
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