CHAPITRE XIX

tous les déplacements infinimenl peiils du système, qui satisferont aux liaisons auxcjuelJes il est assujelli. Supposons fju'alors cette fonction <f soit un maximum relatiïenienl à toutes les valeurs quVlIe prend dasis ces divers déplacements. Désignons par a, h, c, a',... les valeurs de X,y, s, x\ .. ., dans la position d'équilibre ; déplaçons cliacun des points de quantités extrêmement petites, et communiquonsleur des vitesses très-petites]; il s'agit de démontrer que le dérangement du système restera toujours Irès-petit, et que, par conséquent, l'équilibre sera stable.

En effet, posons

j- = a -H A, x=^ ^^-y i = C-hl, 3/7^a' + h',...,

et désignons pariio, v\,... les vitesses très-petites que l'on a communiquées aux différents points; l'équation des forces vives deviendra

Jh, ^oï lu,- ■ ■ représentant les déplacements primitifs trèspeiits, estimés parallèlement aux axes.

Or, puisque la fonction (f[x,j, s, x',...) est maximum, lorsque j;,^, z,... ont des valeurs a, k, c, ,.., les termes du premier degré en h, k, l,... disparaissent dans le développement de <ç(a-|-/i, è 4-A, c-l-/,..,); et les termes du second ordre, changés de signe, peuvent se mettre sous la furme d'une somme de carrés de quantités dont cbaque terme renferme, au premier degré, l'une des quantités h, h, /,..., et qui sont en nombre égal à celui des variables indépendantes. Si l'on désigne ces diverses quantités par s, 5', s",. ■•! et par R l'ensemble des termes de degrés .supérieurs au second, on aura

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500 DU MOUVEMEUT PRODUIT PAU LES FOltCES

et, de même,

L't^uatioii (i) devient donc

ou, en représentant par c la quantité très-petite

il"---'

Les quantiiés h, k, l, h',... ne sont pas toutes indépendantes, et Ton pourrait en éliminer un certain nombre au moyen des équations qui expriment les liaisons du système. Celles qni resteraient entreraient au premier degré dans les divers termes des quaniiiés s, s', s",... dont le nombre est le même que celui de ces variables indépendantes. Il suit de là que st ces dernières ont des valeurs Irès-peiiies, il en sera de même de s, s', s",..., et réciproquement. Il suffit donc de démontrer que s, s', s",... resteront constamment très-petites pour qu'il en résulte que les déplacementsdes points du système restent eux-mêmes très-petits, et que, par conséquent, l'équilibre est stable.

Or, le premier membre de l'équation (a) étant essentiellement positif, il en sera constamment de même dusecond; et il est facile d'en conclure que chacune des quantités s', s",... restera toujours inférieure à c. Eo eiïei, d'après la valeur de t-, chacune des quantités**, .?'*,... est d'abord moindre que c; elles varient ensuite d'une e continue. Supposons qu'il puisse arriver alors que-

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l'une d'elles, par exemple .?', devienne égale à c, et ce sera la pliis grande de toutes ; elle sera encore très peiite, et il €n sera de même, à plus forte raison, de toutes les auires. Donc A, k, /,... seront aussi Irès-pelils, et la quantité R sera incomparablement m.oîndre que chacune des quantités s*, i",.... Donc l'hypothèse s' ^ c conduirait à ce résultat absurde, que le second membre de l'équation (a) serait négatif. Les quaiililés s, s', /,... restant donc toujours inférieures à i/c, et, par conséquent, irès-petiles, il en sera de même des déplacements h, k, /)-.., et l'équilibre sera stable.

Lorsque la fonction ^(o.',^, z, x',,,.) est un minimum, on ne peut faire des raisonnements analogues pour démontrer l'instahililé de l'équilibre, et il faut examiner spécialement chaque cas particulier.

* DE LA MÊME ÉQtJATIOH AU CALCUL DE L EFFET DES MACHIIJES.

285. Les machines ne sont généralement utiles que lorsqu'elles sont en mouvement, cl, dans ce cas, elles ont pour objet de surmonter certaines résistances, el de faire motivoir leurs points d'application de telle sorte, que leurs déplacements, estimés suivant la direction de ces forces qu'il faut vaincre, soient en sens contraire de leur action; on donne à ces forces le nom He forces résistantes. Celles que l'on emploie pour produire le mouvement se nomment forces mouvantes.

Le plus ordinairement, une machine n'est susceptible de prendre que deux mouvements différents, opposés l'un à l'autre, el dans lesquels la position d'un seul point détermine celle de tous les autres. Une seule équation suffit donc pour déterminer la loi de ce mouvement, dès qu'on connaît le sens dans lequel il a lieu; et la plus commode à

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ZgO DU MOUVEMEBT PRODUIT PAR LES FORCES.

employer est celle des forces vives, Cette équation est

les sommes 2 Ju premier membre s'étendant à tous les

points du système, et la somme ^ du second se rapportant

à toutes les forces, soit mouvantes, soit résistantes, qui y sont appliquées. L'intégrale du second membre est prise entre deux limites quelconques, et f'o et c sont les vitessesdu point dont la masse est m, relalivemeni à ces limites.

Les forces dont les composantes sont X, Y, Z se partagent naturellement en deux classes. Désignons parPl'une quelconque des forces mouvantes, et par dp le déplacement inûnimenl petit de son point d'application, estimé

dans le sens de cette force; ^^dp sera la partie de

correspondante aux forces mouvantes. Soient de même Q l'une quelconque des forces résistantes, et d^ le déplacement de son point d'application estimé dans le sens de cette force et abstraction faite de tout signe; la partie

correspondante aux forces résistantes sera — ^jQ'^'?' ^' Téquation (i) potïrra se mettre sous la forme

286. Toute force peut être remplacée par un poids suspendu par un fil dont une extrémité sera fixée au point d'application de la force, et dont la direction, h partir de ce point, coïncidera avec celle de celte force, par le moyen d'une poulie de renvoi. Si l'on fait cette substitution à la

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