MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE AUTOUR D'UN POINT FIXE
294. Considérons un corps solide dont la forme et la dcnsilé en chacun de ses points sont données, et qui est \ié invariablement avec un axe fixe, autour duquel il peut tourner librement. Tous ses points, ou seulement un nombre fini d'enire enx, sont sollicités par des forces données; et il s'agit du déicriiiiner fe mouvement de tous les points de ce corps, en sujiposanl que l'on donne les vitesses initiales de ses points, ou que l'on connaisse seulement les forces iiislantanéesqui les ont produites.
Pour cela, on concevra un plan passant par l'axe et lié au corps; la position de ce plan déterminera celle de tous les points; et, par conséquent, le problème se ramène à la délermination de ce plan. Si les forces données ne sont pas comprises dans des plans perpendiculaires à Taxe de rotalion, on pi'ut toujours les décomposer en deux, dont I une soie parallèle à cet axe, et l'autre dans un plan perpendiculaire; la première sera déu'oite par la résistance de l'axe, et l'on peut en faire absiraclion dans la recherche du mouvement. Nous supposerons donc que toutes les forces données agissent dans des plans perpendiculaires à l'axe fixe.
D'api'ès la méthode générale, on doit exprimer qu'il y a équilibre cnire les forces données et les forces d'inertie de tous les points du sysiètiie. Ces dernières sont, pour l'élément de masse dm situé au point dont les coordonnées sont X, y, z,
dm, dm, — dm ;
dl' df dt'
mais il vaudra mieux, dans le cas actuel, considérer les
deux composâmes, tangente et normale : la première esi celle qui donne l'accroissement de vitesse, la seconde est la force centripète, et se trouve délruiie par la résistance de l'axe, puisque cliaque point décrit un ajc <lo lerck; dont le centre est sur cet axe. On peut donc se Ijorner à considérer la première de ces forces, qui est langcnie à l'arc
décrit, et représentée par —-dm, en désignant par v la
viiesse et par dm la masse do ce point. Si l'on désigne par r la distance de ce point à l'axe, et par 0 l'angle formé par le plan lié au corps, avec un plan fixe passant aussi par l'axe, on aura
Les points situés à l'unité de distance de l'axe auront pour vitesse —, c'est ce qu'on nomme la vitesse angulaire du système.
Pour la généralité de ces formules, la vitesse Jevra être considérée comme positive lorsque l'angle S cniîlra, et la force sera positive quand elle tendra à faire croître cet angle. Or la condition d'équilibre d'un corps solide autour d'iin axe fixe consiste en ce que la somme algébrique des moments des forces par rapport à cet ase soit nulle, en considérant comme positifs les moments tendraient, par exemple, à augmenter l'ai négatifs ceux qui tendraient à le dimin désigne par P l'une quelconque de forces < sa distance à l'axe, l'équilibre entre let
forces — '■ -77 conduira à l'équation suivi
les
couples qui
;le
et comi
ne
er.
Si
donc
on
mi
lécf
■■, et pai
foi
■tes
. P et
les
les sommes se rapportant à tous les points du corps.
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4o4 DU MOUVEMENT PRODUIT pAb les forces,
Dans le dernier terme de celte équation, le facieur — peut sortir en dehors du signe"V; et ce ternie devient
de Z/ '"■
L'équation précédente deviendra donc
rf'S 2P/J de ~ Ir'dni.
En général, les moments des forces données varieront avec la position du corps; sj ces forces ne dépendent que de la posiiion des points, leurs moments seront des fonctions connues de 6, et il eu sera de même par suite
de ^Pp- Quant à la somme \r'dm qu'on appelle le moment d'inertie du corps par rapport à î'axa, elle ne dépend que des distances invariables des différents pointsdu corps à cet axe. Nous représenterons cette constante par M^', M désignant la masse totale du corps; k^ sera^ la moyenne arillimétiquc des valeurs de r', en prenant les dm égaux. L'équation différentielle du mouvement sera alors
^ ' dt' ~^ MA''
Si ces forces étaient nidles, ^j^^ serait nul et l'on aurait
Pour eiR'Ctuor l'intégration do l'équation (i) représen-
3ns son second membre par tJ'(Û), elle devient
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iiiuhipliamles deux membres par aiiS, et ît de la valeur iniliale Sa de S, on aura
'j> étant la valeur initiale de la vitesse angulaire; on tirera ■delà
Si i'oii peut effectuer cette quadrature, ou aura ( en "fonciion de S; et la constante qui s'introduira sera déterminée en exprimant qu'on a à la fois
29o. Si les forces données sont telles, que l'équalion des forces vives ait Heu, elle conduira immédiatement à l'équation (a), parce que la vitesse d'un poiM' situé à la distance r de l'axe étant '"-ri la somme \ «ii'' aura pour expression
2à""' dF' **" '^2à""' ■
Exprimant ensuiie le second membre de l'équation des forces vives en fonction de la seule variable 9, ce qui sera
toujours possible, on connaîtra ( — | en fonction de 9, et
l'on trouvera ainsi l'équation (a).
296. Considérons en particulier le cas d'un corps pesant ■qui peut se mouvoir autour d'un axe horizontal, et constitue ce que l'on appelle un pendule composé. Nous prendrons l'axe fixe pour axe des^, et l'axe des z en sens con-
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4o6 DU MOUVEMEBT PRODUIT PAR LES FOECES.
traire de !a pcsanlpur. Nous considérerons l'angle 6 comme formé par ie plan qui passe par l'ase fi^e et le centre de gravité du cojps, avec )e plan vertirai YZ; et nous supposerons que cet angle croisse en allant de l'axe des z positifs vers l'axe des x positifs, c'esl-à-dire dans le sens que nous sommes conveims de choisir pour celui du mouvement direct. Le moment relatif à l'élément dm sera gxdtn, car il tend à augiuciuer langle 6 quand x est positif, et à le diminuer quand x est négatif; l'équation (i) deviendra donc
d'H glxdm
