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ou, en désignant par x, l'abscisse du centre de gravité do corps, et par / la distance de ce point à l'axe,
et, par
Cetle équation est -de même forme que celle qui délermiiierait le mouvement d'un point matériel autour de l'origine dans le plan XZ. Si l'on désigne par R la dislance de c& point mohilc à l'origine, ou la longueur de ce pendule simple, on obtient pour l'équation de son mouvement,
Cette équation se déduirait de la précédente, en supposant toute la masse réunie en un même point situé à une distance R de l'axe. Elle coïncidera avec la précédente si l'on
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Si donc on suppose que pour I =^ o les valeurs de 6 et de
— soient les mêmes de part et d'autre, c'esi-à-dire si le
plan qui passe par le centre de giavîié du corps et l'axe fixe, fait d'abord le même angle avec la verticale, et a la même vitesse inifiale que ce pendule simple, leur mouvement sera constamment le même. La longueur de ce dernier est ce que l'on appelle la longueur du pendule composé. Le mouvement d'un corps solide pesant autour d'un axe fixe étant ainsi ramené à eelui du pendule, nous nous bornerons à renvoyer à la discussion qui se rapporte à ce dernier.
297, Faisons à ce cas particulier l'application que nous venons d'indiquer généralfment du principe des forces vives. On a alors
X = o, Y — o, Z = — gdm,
pour les composantes de la force appliquée à un élément quelconque dm de la masse; l'équation des forces vives devient donc
C désignant une constante arbitraire. Maïs, en représentant par z, le z du centre de gravité du corps, on a
Si l'on détermine la constante par la condition que les valeurs initiales de â et de — soient 60 et w, l'équation précé-
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4o8 DU MOUVEMENT PRODtllT PAR LES FORCES.
dente deviendra
ce qui n'est autre chose que l'intégrale première de l'équation (3), Le calcul s'achèverait comme dans la théorie du pendule.
Si l'axe fixe était incliné à l'horizon, une simple décomposition de la pesanteur ramènerait au cas que nous venons de considérer, où l'axe est perpendiculaire à la direction des forces.
298. Cas où la vitesse angulaire initiale est produire par une force instantanée. — Nous avons déterminé le mouvement du corps en supposant que sa position initiale soit connue, ainsi que sa vitesse angulaire initiale. Mais si, au lieu de celte vitesse, on donne seulement la force instantanée qui l'a produite, il faudra commencer par déterminer quelle vitesse doit prendre le corps, soumis pendant un temps extrêmement petit à l'action d'une force qui aurait produit sur un point matériel libre une quantité de mouvement connue. La question rentrera alors dans la précédente.
Si l'on décompose cette force en deux autres, dont l'une soit parallèle à l'axe, et l'autre dans un plan perpendiculaire, celte dernière produira seule le mouvement. Représentons sa valeur par P, et par/» sa distance à l'axe; le principe de d'Alembert conduira à l'équation
ce qui donne pour valeur de la vitesse angulaire cherchée
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299. Supposons mainteiianl (jue le mouvement ail élé produit par le choc d'un point ayant une masse ^, animée d'une vitesse f dirigée dans un plan perpendiculaire à l'axe, suivant une droite distante de l'axe d'une quantité/"; et admettons que cette masse reste unie au corps au point où elle le rencontre, et dont nous désignerons par /( la dislance à l'axe.
Si l'on décompose la vitesse f suivant la normale et la tangente au cercle que décrira autour de l'ase le point où a lieu le choc, la première sera détruite, et l'autre aura
pour
système après le choc: la masse fA aura perdu la vitesse
-y- — htà, el la quantité de mouvement que la réaction du
corps lui aura fait perdre sera [i{-r — ha\ : telle sera
donc la mesure de la force instantanée produite sur la masse ft; et, comme l'action et la réaction sont égales, ce sera aussi la mesure de la force instantanée qui a agi sur le corps donné. On rentre donc dans le cas précédent et l'on aura de même
^h{'Ç-i.\=,yr-j„,: d'où .= „ '■f ., ■
Le dénominateur esi le moment d'inertie du système composé du corps donné et de la masse qui s'est unie à luï. Si
donc on entend que la somme y s'étend à leur ensemble,
on écrira simplement
Si, au lieu d'un seul corps, on en supposait un nombre quelconque dont les masses fussent p, p', fi", . . ., les vi-
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410 DU MOrVEMEST PRODUIT PAR iES FOBCES.
tesses w, v', f",. . ., et les distances des directions de ces vitesses à Yaxef^f',/", . . . , et que tous ces corps vinssent choquer le premier au même instant, en se i lui, on aurait
la somme y r^ dm se rapportant à tous ces corps
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