DES MOMENTS D'INERTIE

300. Le mouvement d'un corps autour d'un axe exige, comme nous l'avons vu, le calcul d'une somme prise dans toute l'étendue de ce corps, et que l'on peut considérer comme une ii]lé,^rale, en admettant la conlinuilé dans la matière, comme nous l'avons déjà fait dans la théorie des centres de gravité.

Ces intégrales, que nous avons nommées moments d'inertie, offrent quelques propriétés imporlànles qu'il est nécessaire de faire connaître avant d'aller plus loin dans l'étude du mouvement d'un corps solide. Comme elles ne présentent aucune difficulté, et ne donnent lieu à aucune considération un peu délicate, nous nous contenterons d'énoncer les résultats intéressants, sans en rapporter les démonstrations, qui se trouvent dans tous les Traités spéciaux.

301. Les moments d'inertie d'un corps par rapport à différents axes parallèles ont entre eux une relation simple qui permet de les déterminer les uns par les autres. Si Ton considère une droite passant par le centre de gravité du corps, et qu'on clierclie le moment d'inertie par rapport à cet axe, celui qui se rapporterait à tout autre axe parallèle, surpasse le premier d'une quantité qui ne dépend que de sa dislance au premier, c'est-à-dire au centre de gravité. Cette quantité est le produit de la masse par le carré de celle dislance. D'où il résulie que :

La différence des moments d^iner'ie, par rapport à deux axes parallèles, est égale à la différence des carrés

de leurs dislances au centre de gravité, multipliée par la masse du corps.

On peut donc bien facilement passer d'un axe à tout autre axe parallèle.

On voit encore que les moments d^inerlie sont les mêmes pour toutes les génératrices d'un cjlindre à base circulaire dont Vaxe passe par le centre de gravitéi et que, de toutes les droites parallèles à une mûme direction, celle qui donne le moment minimum est celle qui passe par le centre de gravité.

302. Considérons maintenant la loi qui lie les moments d'inertie d'un corps par rapport à tous les axes qui passent par un même point.

Si l'on suppose trois axes rectangulaires ayant ce point pour origine, et unedroite menée par cette origine et faisant avec les axes les angles quelconques a. S, y, on trouve, par un calcul très-simple, que le moment ^i. par rapport à cette droite a une expression de la forme suivante :

I fi = Acos'a + Bcos'e4-Ccos'7

' i — aDcosÊcosy — aEcosacosy — 2Fcosacos6,

A, B, C, D, E, F étant des constantes déterminées par la nature du système donné, et sa position par rapport aux axes de coordonnées.

II est même facile de reconnaître ce que représentent les trois coefficients A, B, C.

En effet, si l'on suppose cosë ^ o, cosy =: o, on trouve fi= A; la constante A n'est donc autre chose que le moment d'inertie du système par rapport à l'axe des x\ et de même B et C sont les moments par rapport aux axes respectifs des y et des s.

Quant aux trois autres coefficients, ils représentent les intégrales suivantes, étendues a la masse entière du sys-

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CBAPITRE XXEII. 415

tème

T} = \jzilm, E —'Sxzdm, Y ^'Sxydm.

303. La loi exprimée par la fonnule (:) peut êire représenlée d'ujie manière remarquable par une figure géométrique.

Si, en effet, on porte sur chaque axe, à partir de l'origine, une longueur égale à Funilé divisée par la racine carrée du moment d'inerlîe qui lui correspond, l'extrémité de ce rayon, nécessairement fini, puisque ^i. ne peut èlre nul, appartiendra à une surface fermée, dopt on aura l'équation en remplaçant dans l'équation {1) les quantités cosa, cosÊ, cosy par XYT^tjf v'Hi ^Vi^' ^^ '**" trouvera pour l'équation du lieu des extrémités des rayons (2) kx'+ B/= + Cï=— lUy!. — lY.xz — l'Ç xy = \ .

Cette surface du second degré, à centre, qui n'a aucun point à l'infini est nécessairement un ellipsoïde, qui a son centre à l'origine des coordonnées. On lui donne le nom à^ ellipsoïde central.

Cette représentation géométrique est très-commode, parce que l'ellipsoïde étant étudié avec beaucoup de soin dans les éléments, ses propriétés peuvent en faire connaître immédiatement pour les moments d'inertie, et nous allons en indiquer quelques-unes qui ont une grande importance.

304. Axes principaux d^ inertie. — La forme et la position de l'ellipsoïde central ne dépendent en rien de la direction des axes, mais seulement du point choisi et du système donné. Or, si l'on choisît précisément le système des axes principaux de l'ellipsoïde, les coefficients de l'équation (2) prendront des valeurs dépendantes de ces axes particuliers, et telles que les rectangles des variables ne s'y trouveront plus ; et par conséquent 011 aura

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il exisic donc loiijours un système d'axes de coordonnées tel, que les trois jniégralcs Vjst'fij "S^xzdiiiy "Sxjdniy

calcaloes par rapport à lui, se réduisent à zéro.

Ttéciproquemfiiii, si elles sont nulles toutes les trois, l'ellipsoïde sera rapporté à ses axes principaux,

Si l'ellipsoïde central a ses trois axes inégaux, il n'y a qu'un seul système d'axes principaux. Si deux de ses axes sont égaux, il y aura une infinité de systèmes d'axes principaux, dont l'axe de révolution fera toujours partie. Enfin, si ses trois axes sont égaux, l'ellipsoïde se réduit à une sphère; et tout système d'axes rectangulaires passant par le point donné sera un système d'axes principaux de l'ellipsoïde.

Remarque. — Si deux des trois sommes seulement

étaient nulles, par exemple ^yzdiii ei'Sxziim, l' équation (2) deviendrait

A^'-^-Bj' + Cz' — iVxx^t, et l'axe des z serait seul un des axes principaux de l'ellipsoïde.

305. Les axes principaux de cet ellip?oïde sont appelés axes principaux d'inertie du système de points matériels. Ils sont définis par la propriété d'annuler les trois intégrales ^jz dm, ^^xzdm, ^^xydm; mais ils jouissent

de propriétés mécaniques importantes que nous ferons connaître, et auxquelles l'esprit s'attaclie avec plus d'Jnléi^t qu'à celles qui ne sont qu'un simple résultat de calcul. En rapportant les points à un système d'axes principaux

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