CHAPITRE XXV
DU MOUVEMENT D'UN CORPS SOLIDE DONT UN POiNT EST FIXE.
Si l'élat initial du corps esl donné, il n'y a plus à s'oc- C«i«'i- que du mouvement i onlînu qui suivra.
Si l'oti donne seuietwenl les forces instaïUanécs qui, appiii|iices au corps en repos el dans une position connue, produisent cet état initial, la première question à résoudre esl la fléiermi nation de cet étal, et c'est elle qui va nous occuper d'abord.
314. Mouvement initial produit par des foi ces instantanées. — Quel que soit le nombre de ces forces, elles sont toujours réductibles à une seule force appliquée au point fixe et un couple unique. La force esl détruite par la résistance du point; la question se réduit donc toujours à trouver Teflet d"uu couple instantané.
Pour cela, nous supposerons qu'on ait pris pour axes de coordonnées les trois axes principaux d'inertie du corps, relatifs au point fi\e, et nous désignerons comme précédemment par A, B, (.'. les moments d'inertie par rapport  ces axes; 1 équation de l'ellipsoïde central sera
A,i' + Bj=.
Si mai-
ntenant on décompi
au 1res aya
nt pour ases ceux d,
•iz, et, pour n resiieelifs, L, W, IV, on sait, par un théorème général démontré précédemment, que les vitesses que prendront tous
428 DU MOUVEMENT PBODriT PAR LES FORCBli.
les points du corps par l'effet du couple donné, peuvent ôtre obtenues en composant celles qu'ils obtiendraient par l'action séparée des trois couples composants, afjissant cliacun sur le corps en repos dans sa posiiion donnée. Or le couple de moment L étant situé dans le plan perpendiculaire à l'axe principal des x produira un mouvement autour de
cet axe même, avec une vitesse angulaire w, égale à ~-
Le couple dont l'axe est dirigé dans le sens desj' produira un mouvement autour de cet axe avec la vitesse an-
2U aire «':== — • ^ B
Enfin le couple dont l'axe est dirigé dans le sens des z
produira un mouvement autour de cet axe avec la vitesse
angulaire «"=-■
Pour avoir la vitesse résultante en chaque point, il faudra composer ces trois rotations, ce qui se fera par les règles connues de la Géométrie. L'axe de la rotation résultante fera, avec les axes, des angles a, S, 7, dont les cosinus seront proportionnels à w, o)', w", et la valeur de cette résultante sera
La question est donc résolue; maïs la direction de cet axe a, relativement à l'ellipsoïde central, une position remarquable, que nous ne pouvons nous dispenser de faire connaître.
Le rayon de l'ellipsoïde qui fait avec les axes des angles
dont Jes cosinus sont proportionnels a 7 ' ■s'' 7; ' rencontre
sa surface en un point dont les coordonnées sont proportionnelles à ces mêmes valeurs, et, par conséquent, l'équation du plan mené par l'origine, parallèlement au plan lan-
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CHAPITBE XXV. 429
gcnt il l'eUipsoïde en ce point, aura pour equalion
ce qui est précisément l'équation du plan du couple donné, dont l'axe fait avec les axes de coordonnées, des angles dont les cosinus sont proportionnels à L, M, N, De là résulte cette remarquable proposition due à Poinsot :
L'axe de la rolalion produite par un couple sur un corps solide qui a un point fixe est le diamètre conjugué du plan du couple, dnns l'ellipsoïde centrai relatif au point fixe.
On voil comment la considération des axes principaux d'inertie a ramené immédiatement à des mouvements autour d'axes fixes, le mouvemeul beaucoup moins simple autour d'un point fixe.
DTJ MOUVEMENT COflTINU AUTOUR u'ilN POINT FIXE.
315. L'état initial étant connu, il s'agit de délermint'r le mouvement que prendront tous les points du corps, par l'action des forces continues qiii y sont appliquées. Mais il ne sera pas nécessaire de calcr.ler en fonction du temps les coordonnées de chacun de ces points; il suffirait, par exemple, d'en choisir particulièrement trois non en ligne droite, et de prendre leurs coordonnées pour inconnues, celles de tous les autres points s'ensuivraient nécessairement. On pourrait de bien d'autres manières réduire la reeherclie à un nombre fini d'inconnues : parmi tous les systèmes que l'on peut choisir, le plus commode est celui qui consiste à prendre trois droites rectangulaires liées invariablement au corps, et passant par le point fixe. Si l'on peut déterminer à chaque instant leurs positions par rapport à trois axes fixes ayant pour origine le point fixe, ils détermineront la position du corps à chaque inslanlj et,
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43o DU MOUVEMEKT PRODUIT PAR LES FORCES.
par suite, cnlle de tous ses points, rjuî y seront rapportés natLirelltîmenl comme à un système d'axes coordonnés.
Cliacun de ces axts mobiles avec le
corps, et (]ne nous
désignerons par X,, Y,, Zi, sera déterminé par les angles que sa direction fera avec celles des axes fixes; il y aura ainsi neuf quantités inconnues, mais enlrc lesquelles il existera, comme on sait, six éi[(tations de coudiiioii. ce qui réduit le nombre des jii(onnui;s à trois. On peu! eniore, au lieu de ce système d'angles et d'équations de eoinlition, considérer trois angles, y, ij;, 6, jndépcji'Jaijls les uns des autres, qui seront les inconnues définitives dont ou cbercliera à exprimer les valeurs en foncliiu] du temps. L'un d'eux sera Fangle que fait l'axe Z, a\er l'axe Z; le second, l'angle que fait avec X la trace du |il:in X,Y. sur XY; le troisième, i'angle de l'ase X, avec .eue mfme trace. On a donné, dans les éléments de <jioniéitrie et de Calcul, les équations qui permettcni de passer d'un système à l'autre; nous ne nous occuperons poii.l ici de ces détails.
Les inconnues étant ainr.i choisies, il s'agit de tvo!>ver les équations par lesquelles on pourra les déterminer. La méthode sera toujours la i équilibre au moyen des lia et les forces d'inertie de tous I fournira, comme on l'a vu trois équations expi'imant mant de la décomposition df pliquée au point fixe et un dVquaiions que d'inconnuef sera rairiejié à un problèmf.
316. 11 y a maintenant une observation impoiiame à faire sur le choix des axes suivant lesquels on f'eia la décomposition des ibrces. Quels qu'ils soient, l'équilibre est
lème, on exprimera qu il y a
sons, entre les
forces doi.iiées
s les points m
atérie's; ce qui
dans la théorie
de l'équinlire.
l'équilibre des
couples prove-
ehaque force e
n une foiee ap-
couple. On au
ra ainsi autant
, el /e prohlèiin
■lie moiiuciiierit
'la calcul.
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assuré en égalant à zéro chacun des couples composants ajaiit leurs axes suivant ces trois droites. On pourra prendre certaines droites à une époque du mouvement et d'autres à une autre époque; les équations aïiiaî obienues exprimeront toujours l'équilibre qui doit avoir lieu, et par conséquent suffiront, avec plus ou moins d'avantage, à la détermination du mouvement.
Or les trois directions qu'il est le plus avantageux de prendre sont celles des axes fixés au corps, et pour lesquelles on choisit les axes principaux d'ineriJe relativement au point fixe. Seulement, il y aura quelques attentions à avoir pour l'expression des composantes de la force d'inertie, qui est fort différente de ce qu'elle serait reialivemenl à des axes fixes. Ainsi ces composantes, estimées par rapport aux axes fixes X, Y, Z, seront, au signe près, -— - dm, -~ dm, —- dm, ou les dérivées des composantes de la vi-
tesse, suivant ces mêmes axes.
On voit bien qu'il n'en peut être de même pour les coordonnées 3^1, y^, z,, qui sont constantes pour une même molécule; mais on pourrait croire, au premier abord, que les dérivées des composantes u, i^, w de la vitesse du point
parallèlement aux axes X-, Y,. Z,, ou -—dm, —-dm, —- dm,
sont bien les composantes de la force motrice qui agit sur dm; ce qui serait une très-grave erreur, comme on va le voir.
En effet, u, f, iv sont des fonctions du temps qui expriment à chaque instant les composantes de la vitesse réelle du point, estimées suivant les directions qu'ont les axes X, , Y,, Z, au moment où l'on fait cette décomposition, et u-\-dii, v-^dv, w-^-div sont les composantes de la vi-
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43a DU MOUVEMEIIT PRODDIT PAR LES FORCES.
tessc après le temps dt, estimée suivant les nouvelles directions des mêmes axes après ce temps rfï; de sorte que du, dv, dwne sont pas les accroissements des composantes de la vitesse réelle du point, estimées suivant les trois mêmes axes ; ce qu'il faudrait cependant pour que, en les divisant par dl, on eût les composantes de la force accélératrice.
Celle remarque bien simple étant faîte, on voit comment 011 peut obienir ces accroissements des composantes de la vitesse suivant les ases X,, Y,, Z, restant dans la position quils occupent au commencement de l'intervalle dt. Il suffira, en ellel, de chercher les composantes, suivant ces mêmes axes, de la vitesse à la fin de cet intervalle, et d'en retrancher respectivement «, v, w; on aura alors les composantes de la force accélératrice suivant les axes X,, Y,, Z, dans leur première position, eu divisant les restes par dl. Quant aux composantes suivatit Xi, Yi, Zi de la vitesse après le temps dt^ elles s'obtiendront en projetant successivement sur ces trois axes les trois composantes u + dit, f + dv, w -H dw de la vitesse après le temps dt, suivant les dernières directions des axes mobiles.
Connaissant ainsi les composantes des forces d'inertie parallèlement aux axes principaux du corps, et décomposant, suivant les mêmes directions, les forces extérieures données, on formera facilement les trois équations de Té^tiilibre de l'euaemble de ces forces, qui sei'ont le^ équations du mouvement du corps.
Nous n'entrerons pas dans les détails de ce calcul, et nous nous bornerons à en donner le résultat. En représentant d'abord par «', f', w' les composantes de la force accélératrice parallèlement aux directions des ases mobiles, et par Xi, Yi, Z, les composantes parallèles aux axes mobiles de la force motrice appliquée à un point quelconque,
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