Après avoir établi avec soin ces premiers principes

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nous avons commencé l'étude de l'équilibre par quelques cas simples^ maïs nous nous sommes bientôt élevé à la formule générale qui renferme virtuellement les conditions d'équilibre de tous les systèmes, et d'où on peut les tirer dans chaque cas particulier, par des procédés de calcul réguliers. Cette formule est l'expression d'un principe, entrevu par les géomètres qui ont précédé Lagrange, mais dont il a le premier compris toute l'importance. 11 l'a admis d'abord, ïl est vrai, sans démonstration générale, et un grand nombre des conséquences qu'il en a tirées potivant ^ire démontrées directement en étaient une confirmalion frappante; mais la rigueur scientifique exigeait une démonstration préalable de ce célèbre principe des vitesses 'virtuelles; et elle a été donnée d'abord par Fourier, puis par Lagrange lui-même, par Poinsot et quelques autres encore.

On peut donc regarder maintenant la science de l'équilibre comme rigoureusement établie, d'après les données premières que nous avons admises comme résultats de l'observation; elle est donc ainsi ce que nous avons nommé une science de raisonnement.

Il faut remarquer toutefois que nous ne nous sommes occupé que des systèmes de points, ou de corps solides, en nombre fini, liés entre eux, ou à des points fixés d'une manière quelconque. Nous n'avons pas considéré les systèmes composés d'une infinité de points, tous mobiles les uns par rapport aux autres, et (ormani ce qu'on appelle des liquides ou des gaz ; nous en parlerons plus tard.

6, Après avoir constitué la science de l'équilibre des forces,noussommespasséà l'étude des mouvements qu'elles peuventproduire.

Et d'abord, il faut bien remarquer que le mouvement, tel que nous l'avons défini, est toujours relatif. Le mouve-

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meut absolu, généralemenl admis jusqu'ici, est une pure cliimère fondrâ sur une auire chimère, celle d'un espace éternel et absolu, dont chaque point aurait une existence personnelle, et serait supposé dans un élat d'immobilité. Et comme 11 est tout aussi impossible de dire ce qu'on entend par l'immobilité d'un point de cet espace, que par celle d'un point matériel quelconque, ce n'est que par un cercle vicieux que l'on arrive à croire que l'on a donné une définition du repos et du mouvement.

D'après cela, nous n'avons dû nous occuper que des mouvements relatifs des points, et tous les principes généraux que nous avons établis comme bases de la science du mouvement, sont entendus d'après cetie conception.

7. La considération du mouvement en entraine une autre, celle du temps. Nous avons encore eu à combattre à ee sujet une conceplion aussi chimérique que celle de l'espace, celle qui fait du temps un être réel, nécessaire, indépendant de toute création, comme l'espace, et sur lequel viennent s'échelonner les époques, comme les points sur une ligne indéfinie. Nous avons admis évidemment l'idée de succession comme résultat de notre expérience, mais nous n'avons pas dit qu'il existait un être dans lequel s'opérait cette succession, Néanmoins, pour la commodité du langage, nous avons parlé de temps égaux, ou dans un rapport quelconque, et par consé([uent exprimables par des nombres, en définissant rigoureusement ce que nous entendions par là.

8. Il est encore une autre notion nécessaire à introduire dans la science du mouvement, et qui ne se trouve pas dans celle de l'équilibre ; c'est la notion de la masse. L'expérience montre que ta même force ne produit pas le même mouvement quand elle est appliquée à des corps

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formés de la même sutstance, ayant des volumes dilTéreiils, et par conséquent renfermant des quantités différentes de matière. Mais, comme on ne peut attacher aucuu sens précis à la comparaison des quantités de matière renfermées dans des corps d'espèces différentes, et que notre objet n'est pas de tenir compte de la composition particulière des

corps, mais ;

^ulement de la manière dont ils sont r

mouvement par les forces, nous avons considéré comme identiques, sous ce rapport, deux corps qui, soumis à l'action d'une même force, prennent le même mouvement. On dit alors, non qu'ils renferment la même quantité de matière, mais qu'ils ont la même masse.

Lorsque deux corps proviennent de la réunion de corps ayant des masses égales, on dit que leurs masses sont dans le rapport des nombres respectifs de ces corps partiels. Dé là résulte l'expression de tomes les masses en nombres, en prenant pour terme de comparaison celle d'un volume déterminé d'une substance choisie arbitrairement.

Deux corps sollicités par des forces proportionnelles à leurs masses prennent un même mouvement, parce qu'en les décomposant en parties égales à leur commune mesure, toutes ces masses égales sont sollicitées par des forces égales. Et réciproquement, si le mouvement est le même, les forces sont dans le rapport des masses. De là résulte un moyen simple de comparer les masses. En effet, l'expérience a montré que tous les corps soumis à l'action seule de la pesanteur prennent des mouvements identiques; leurs masses sont donc proportionnelles ans forces qui les sollicitent, c'est-à-dire à leurs poids ; et comme la comparaison des poids est très-facile, celle des masses le sera également, ainsi que leur expression en nombres.

9. Ces premières notions étant acquises, nous avons indiqué comment on a pu établir expérimentalement les

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456 DU MOUVEMEHT PnClDUIT PAH LES FOBCES.

principes foiidameiilaux du mouvement produit par les forces.

Le premier consiste en ce que, dans un système dont toiîs les points ont des vitesses constantes égales et parallèles, si un de ces points vient à être sollicité par une certaine force, son mouvement , par rapport au système, sera le même que si le mouvement commun n'avait pas existé.

Une des premières conséquences de ce principe général est qu'une force constante, agissant d'une manière continue sur un point matériel partant du repos, lui donne un mouvement uniformément accéléré; et réciproquement.

10. Le second principe général consiste en ce que deux forces constantes, appliquées à des masses égales pendant un même temps, leur font acquérir des vitesses proportionnelles à ces forces.

De là résulte le rapport des vitesses acquises dans des intervalles quelconques de temps par des corps dont les masses sont dans un rapport quelconque, et sont sollicitées par des forces quelconques.

On déduit de là la mesure des forces constantes au moyen des vitesses qu'elles font acquérir à des masses connues .

La mesure des forces constantes conduit à celle des forces variables au moyen des considérations infinitésimales. II suffit, en effet, de remarquer que, si l'on considère la vitesse produite par une force variable dans un temps infiniment petit, elle ne diffère que d'une quantité infiniment petite, par rapport à elle-même, de celle qui aurait lieu si cette force conservait pendant ce temps sa première valeur; d'où il suit que le rapport de celle-ci à une force constante choisie arbitrairement et appliquée h la même masse est la limite du rapport de la vitesse produite

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par la première dans un temps infiniment pelil à celle que produirail la force constante. On tire de là cette conséquence qu'une force variable quelconque, agissant dans le sens du mouvement rectiligne d'un point, est mesurée par le produit de la masse de ce point par la dérivée de sa vitesse par rapport au temps, en entendant qu'on a pris pour unité la force constante qui, dans l'unité de temps, fait acquérir à l'unité de masse une vitesse égale à l'unité.

H. Après avoir fait quelques applications de celle formule, nous sommes passé à l'étude du mouvement curviligne d'un point.

Galilée, le premier, a résolu la question du mouvem.ent d'un point libre sollieîlé par une force constante en grandeur et en direction.

Hughens a donné sans démonstration des propositions importantes sur le mouvement d'un point assujetti à resier sur un cercle donné.

Enfin, Newton, en vue surtout des mouvements planétaires, s'est occupé du mouvement produit par une force dont la direction passe par un point use. Il en a démontré d'abord une importante propriété, connue sous le nom de principe des aires, el est parvenu ensuite à l'expression de la force au moyen de certains éléments infloittsimaux dépendant de la courbe que décrit le point. Cette grande découverte l'a conduit, comme nous le montrons plus tard, à celle de la gravitation universelle.

Mais il restait encore à donner l'expression générale de la force quand elle n'est assujettie à aucune restriction, et nous avons montré comment on y parvient en faisant usage du premier principe énoncé précédemment et de la théorie du mouvement reciiligne varié. On trouve ainsi que les composantes de la force accélératrice sont les dérivées secondes, par rapport au temps, des coordonnées respec-

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458 DU MOOVEMEBT PEODIUT PAR LES FORCES.

tives du point considérées comme des fonctions du lemps. Tous les problèmes sur le mouvemeni d'un point libre deviennent par là de simples questions de calcul différentiel ou intégra!.

Nous avons examiné le cas où le point n'est pas entièrement libre, et est assujetti à rester sur une courbe ou une surface donnée. Nous avons montré comment ce cas se ramène au premier, en introduisant la force inconnue qui peut représenter l'action de la surface ou de la courbe. Le point peut alors être considéré comme libre, et les équalioriS relatives h ce cas, jointes à celles de la courbe ou de la surface, déterminent le mouvement du point et les inconnues introduites.

12. Après avoir ainsi traité le cas du mouvement absolu d'un point, nous sommes passé à l'étude du mouvement relatif, ces deux expressions étant entendues comme nous l'avons suffisamment expliqué en parlant du mouvement en général.

Le problème que nous nous sommes proposé est celui-ci :

Etant, donné le mouvement d'un système rigide, trouver, par rapport à ce système, le mouvement d'un point sollicité par une force donnée.

Pour plus de simplicité, nous concevons trois ascs liés invariablement au système; la position du point par rapport à ces axes détermine ïa position relative au système, dont on peut alors faire abstraction, en ne conservant que ces axes, dont le mouvement sera regardé comme donné. Nous supposerons donc que les trois coordonnées de leur origine et les angles que leur direction font avec les ases fixes sont des fonctions connues du temps. Les trois équations qui ont lieu entre les coordonnées d'un point, par rapport aux axes fixes et aux ases mobiles, permet d'exprimer les unes, ainsi que leurs dérivées , au moyen des

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