CHAPITRE II

successive de ces forces, <]iie nous avons indiquée en commençant, conduit au résultat suivant, d'après la règle du parallélogramme des forces :

K Par rextrémîlé de la droite qui représente l'une quel- 1) conque des composantes, menez une droite parallèle à 5) l'une des autres, de même sens et égale ; par l'extrémité » de celle-ci, une droite parallèle à l'une de celles qui n restent, de même sens et égale, et conlinucï ainsi jusn qu'à la dejnière composante, en les prenant dans un » ordre quelconque; la droite qui joindra le point d'apn pUcalion des forces à l'eslrémité de la dernière droite 1) corislruite, représentera la résultante en grandeur et eu » direction, u

On voit que , si toutes les forces changeaient de sens sans changer de grandeur, il en serait de même de la

II suit de là que, si cette ligue polygonale était fermée, la force à laquelle les proposées sont réduites, serait nulle, et les forces seraient en équilibre ; et réciproquement.

Mais, comme les constructions sont le plus ordinairement moins commodes que les calculs, il est utile de traduire le tliéorème précédent en formules algébriques. Nous commencerons par clieicher directement ces formules, puis nous indiquerons comment elles pourraient être déduites de ce tLéorcine.

RÉDUCTION DE TliOTKS LES FOECES A TROIS AITRES DIRIGÉES SUIVAWT DES AXES FIXES QUELCONQUES.

35, Si, par le point d'application de ces forces, on mène trois axes arbitraires, et qu'où décompose chaque force en trois autres dirigées suivant ces axes, toutes les composantes situées sur un même axe se réduiront à une seule, égale à l'excès de la somme de celles qui agissent dans

34 DE l'éqiiij.ibhb des roncEs.

un sens sur la somme de celles qui agissent en sens contraire; et celle force sera dirigée dans le sens de la plus grande des deux sommes. L'ensemble des forces données sera donc remplacé par trois forces agissant suivant les axes choisis, et dans un sens bien déterminé pour chacune ; et pour avoir leur résultante, qui sera celle du système, il suffira d'appliquer la règle du parallélépipède des forces. On parviendrait au même résultat en considérant la ligne polygonale qui fait connaître la seconde extrémité de la résultante. En elfet, si l'on décompose celle dernière suivant les trois axes, en menant par son extrémité trois plans parallèles à ceux des axes pris deux à deux, et qu'ensuite on mène par tous les sommets de la ligne polygonale des plans parallèles à ceux des axes, on voit clairement que cliaeune des trois composantes de la résultanle est égale à la résultante des composantes partielles que doiineraicnt toutes les forces proposées, suivant ces mêmes axes.

TWTHODUCTIOW DES SIGSES DAMS LES FORCES.

36. Nous avons dit que toutes les composantes suivant uH même axe, se réduisaient à une seule force égale à la différence entre la somme de celles qui agissent dans un sens et la somme de celles qui agissent dans l'autre, et que celle force agit dans le sens de la plus grande somme.

Cet énoncé peut être simplifié et réduit à la même forme que quand toutes les forces sont dans le même sens. Ti suffit de considérer romme des nombres absolus ceux qui mesurent les forces dirigées dans l'un des deux setjs choisi arbitrairement, et comme des nombres négatifs ceux qui expriment les forces de sens contraire, En effet, si l'on ajoute, suivant les règles des signes, tous ces nombres, tant positifs que négatifs, on aura une somme dont la valeur absolue exprimera la grandeur de la résultante, et dont le

cHAPiTBE II. 3a

signe, indiquant laquelle des deux sommes esi la plus forte, fera connaîire le sens de celte résuUaiHe, L'énoncé général sera ainsi formulé :

Les forces agissant suivant une même droite, se composent en une seule égale à leur somme, et agissant clans le. sens indiqué par son signe.

On voil encore ici que nous n'avons introduil les signes dans les forces que pour généraliser l'énoncé d'une proposition.

Si l'on désigne parX, Y, Z les composantes, ainsi entendues, de l'une quelconque des forces, les composantes de la résuhanle suivant les axes seront

37. Cas oà les axes sont rectangulaires. — Lorsque les trois axes sont rectangulaires, l'expression des composantes leur donne précisément les signes qui conviennent à la généralisation que nous venons d'indiquer.

En effet, soit P l'une quelconque des forces données, a. S, y les angles que sa direction fait avec les trois sens que l'on a choisis sur les axes, Ses composauteà seront

à la condition de regarder comme positives celles qui feront des angles aigus avec les ases positifs, et comme uégatives celles qui feront des angles obtus, P étant toujours considéré comme un nombre absolu. En ajoutant toutes celles qui sont suivant un même axe, on aura les trois résuliautes des forces données, qui seront

ypc<

2;pc.

Connaissant ainsi la grandeur et le signe des composantes, on connaîtra la résultante H et les angles a, b, c qu'elle fait avec les axes.

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^6 DE l'équi

Dans le cas des axes quelconques, X, Y, Z dés grandeur et en signes les composantes de la résu équations de celles-ci seront

38. Équations d'équiUbm. — Pour que des forces appliquées à un même point soient eu équilibre, il faut que la force «nique à laquelle on les réduit soit nulle, et par conséquent que ses trois composantes suivant des axes obliques ou rectangulaires soient séparément nulles, ce qui donne les trois équations

Dans le cas des axes rectangulaires, ces équations de-

■nnent

Si toutes les forces étaient dans un même plan, il serait convenable de les décomposer suivant deus axes situés dans ce plan, et alors ou aurait, pour les composantes de la résultante,

et pour conditions d'équilibre,

Mais on pourrait avoir des raisons de conserver les trois axes, et les forces, n'élaut dans aucun des plans de cis axes, devraient encoie être décomposées en trois forces suivant ces axes, et Sa résullanie aurait encore pour composantes ^X, ^Y, ^Z. Mais il ne faudrait plus trois

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CHAPÏTHE lï. 37

équations : deux d'entre elles cntraineraierit la troisième. Eli elTei, si l'équatiou du plan des forces est z-^a^ + by, on aura, pour chacune des forces,

dojic

el les deux cquaiions VX = o, \'Y = o cnlraînent la

troisième et suffisent par conséquent.

Si toutes les forces éîaîcnl en ligne droite, la seule équation \'X=:o entraînerait les deux autres et suffirait par conséquent.

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