CHAPITRE m. 4l

naîtra effectivement que !es équations que nous cberthons peuvent s'énoncer et s'éerire d'une manière unique pour tous les cas, en considérant les signes des coonlonnécs comme nous l'avons fait jusqu'ici, et, déplus, en regardant les forces dirigées dans l'un des sens comme représentées par des nombres absolus, et par des nombres négatifs colles qui sont dirigées dans le sens opposé.

43. En considérant d'abord deux forces parallèles, de m.Ème sens, ei un plan quelconque par rapport auquel leurs points d'application soient d'un mùme côté, les relations qui existent entre les graiideurs des forces et de leur résultante et les distances des points d'application de ces trois forces, conduisent à cette proposition :

u Si l'on fait les produits de chacune des deux forces et 0 de leur résultante par les distances respectives, obliques » ou rectangulaires, de leurs points d'application au plan, » la somme des deux premiers sera égale au troisième. )) Mais si les points d'application des forces n'étaient pas )) d'un même coté du plan, ce serait la difTérenec des pro- » duils qu'il faudrait substituer à la somme, et le point )) d application de la résultante serait du même côté que )) celui qui correspond au plus grand produit, v

On voit par là quelles sont les diverses circonstances qu'il est nécessaire d'examiner, et l'on reconnaîtra facilement que les différentes équations qut leur correspondent peuvent Être renfermées dans une seule, en regardant comme positives les perpendiculaires situées d'un côté du plan, et comme négatives celles qui sont situées de l'autre. En désignant sous le nom de moment, par rapport au plan, le produit d'une force par la perpendiculaire, positive ou négative, abaissée de son point d'application sur le plan, et regardant les forces comme des grandeurs absolues, l'équation qui renferme tous les cas s'énoncera ainsi :

Le momenl de la résultante par rapport à un plan quelconque est. égal à fa somme des momenls des composantes.

Si les deux forces n'étaient pas de même sens, eette équation se trouverait modifiée dans les signes des termes. Mais on reconnaît facilement qu'on se procurera l'avantage de réunir ces diverses formes en une seule, en considérant comme positives les forces dirigées dans l'un des deux sens choisi à volonté, et comme négatives, celles qui sont diri-

44. Cas d'un nombre quelconque de forces. — En appliquant ce tliéorème à deux des forces, puis à leur résultante et une troisième force, et ainsi de suite, jusqu'à la dernière, on arrive sans difficulté au tliéorème suivant :

K Lorsque des forces parallèles quelconques ont une ré- 1) sultanlc, le moment de cette force par rapport à un plan » quelconque est égal à la somme des moments des com- » posanti'S, à la condition de regarder les forces dirigées » dans un sens comme positives, et celles qui sont dirigées » en sens contraire comme négatives ; les perpendiculaires » situées d'un côté du plan comme positives, et celles » situées de l'autre comme négatives; et en entendant que » les sommes et les produits seront faits suivant les règles » démontrées dans l'addition et la multiplication des poly- » nômcs. »

On voit ici, comme toujours, que les quantités négatives sont introduites pour renfermer plusieurs formules en tinc seule, et qu'il n'y a aucune règle à démontrer sur ces quantités négatives isolées, puisque la manière de les traiter a été une condition de !a généralisation, fournie par la comparaison des formes diverses des équations.

i COORDONKÉES I

Soient P, P', P", . . . les nombres positifs ou négatifs qui esprimenl les forces*, x, y, z les coordonnées do point d'applicaiîoii de la force P; x', y', z' celles do point d'applicalion deP', et ainsi de suite; R, la valeur de la résultante en grandeur et en signe; x„y,, z, les coordonnées de son point d'application, ou du centre des forces parallèles.

On aura, d après ce qui vient d'être dit, en

prenant les

moments successivement par rapport à cliaci

in des plans

coordonnes,

Rj7,= Pj,- -i-P'^'-+-P"j:"-i- ...,

Rj,— Pj + P'j' -H P"j-" + ...,

R3,= Pz -i-P'z' -+- P"i" -i- ....

On connaîtra donc îmmédialement la grs

indenr et le

sens de la résultante, et les coordonnées de son point

ÉQu*T!0Ns n équilibuiî ors forces fabsllèliîs.

43. Il faut d'atord s'expliquer nettement sur la position de la question, et déclarer si l'on veut des équations qui assurent l'équilibre, quelle que soit la direction des forces, comme nous avons trouvé la détermination du point d'npplication de la rcsollanlc, quand elle existe-, on bien si l'on veut des équations qui assurent l'équilibre de forces parallèles à nne direction bien déterminée.

i" Supposons d'abord que l'équilibre doive avoir lieu, quelle que soit la direction des forces, et commençons, comme nous I avons déjà fait, par réduire le système de toutes les forces aux deux résullantcs des forces respeclive-

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44 BE l' É QU ILIBBE DES FORCES.

ment de même sens ; pour qu'il y ait équilibre, il faut que ces deux forces soieul égales et direciement opposées.

D'abord, pour qu'elles soient égales et de sens contraire il faudra que l'on ail

Pour qu'elles soient direciement opposées, quelle que soit leur direction, il faut que les deux points d'application des résultantes partielles, égales et de sens contraire, coïncident.

Or, pour que deux points coïncident, il est nécessaire et suffisant que leurs coordonnées soient égales et de mêmes signes, par rapport à trois plans passant par un même point.

Ainsi, en considérant d'abord les x des deux points, il faudra, pour qu'ils soient égaux et do même signe, qu'en les muliipliant par les résultantes correspondanles qui sont égales et de signe contraire, la somme soit nulle. Et comme celle somme est égale à la somme loiaie des moments Px -1- Vx' -+- V'x" -F . . ., il faudra que celle dernière soil nulle. Il en serait de même pour les deux autres axes ; et les conditions de l'équilibre seront

/ Pj: + P'.r' -4- P"j;"+. . . = O,

(2) Pj + P',r'+P'V+-.. = o,

( Pz +P's' +P''z" + ... = o.

Si tous les points d'application sont dans un même plan, la troisième des équations { 2) rentre dans les deux autres.

S'ils sont en ligne droiti-, les équations (s) se réduisent à une, la direction des forces restant indéterminée.

46. Si l'équilibre doit avoir lieu pour une seule direction bien déterminée, il ne sera plus nécessaire que l(~s

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CtlAPlTRE m. 40

points d'application des deux lésullanies parlielles coïncident; il suffira qu'ils soient sur une droite parallèle aux forces. Si donc on prend les deux plans ZX, ZT, parallèles à la direction des forces, il suffira que les deux points d'application aient le même x et le même j"; ce qui n'exige plus que deux équations. Les équations d'équilibre seront alors, par rapport à âes axes quelconques, parallèles aux forces :

j Pj -i-fy + e'y"-h... = a.

Si l'on voulait conserver aux axes des diiections arbitraires, en supposant aux forces une direclion déterminée, l'équaiion ( i ) subsiste toujours ; et si l'on suppose les forces parallèles .'1 la drohe X = az,j ^ bz, les condilions pour que les points d'application des deux résultantes partielles soient sur une parallèle à celle droite seront

ce seront les conditions d'équilibre.

Si l'on a n = o, 6 = o, on retombe sur les équations (3).

■47. Si en laissant les axes quelconques, ou suppose toutes les forces dans un même plan

il faudra d'abord que la droite x = nz, y = bz soit parallèle à ce plan, ce qui donne

mil -^- bn -\- p^o, et les équations

que nous venons d'établir pour le cas général d'une dircc-

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lion fisc des forces, deviciidronl, l'n roinplaçaiit les s par leur valeur liree de récjnatioii du plan,

qui n'en font qu'une.

Les équations d'équilibre seront dans ce cas

2"=°. l'—jl'^-

et il est remarquable qu'elles ne dépendent pas de la position du plan des forces.

Si l'on voulait que les forces fussent dans le plan des x ety, il faudrait que les équations de la droile parallèle, qui sont

se réduisissent à z ^= o, x-^hj, h étant un nombre donné.

On fera tendre la droite vers cette position, en faisant croître a cl b indéfiniment, en conservant le rapport

7 ^ A, el il faudra, dans les équations précédentes r par h, ce qui donnera

.pla<

Si les forces étaiei

k =1 o, et les équations d'équilibre sit:

i l'aiie des y. <