COMPOSITION
48, Nous avons reconnu que deux forces parallèles égales, de sens contraire, mais non directement opposées, ap-
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plitjuées à dpux poiuls liés iiivariablemeni i'uii à l'autre, lie sont pas réduciibles à une force unique, et ne sont pas 11011 plus en équilibre.
On s'était contante de cette remarque jusqu'à Poinsol, qui a faii de ces singuliers assemblages de forces, an élément essentiel delà théorie de l'équilibre et du mouvement. Nous les désignerons, avec lui, sous le nom de couples.
L'objet de cet Ouvrage étant de faire connaître l'encliainement et la liaison des idées, en partant des données pre-
is bornerons ici à indiquer le
principes SI
lesquels se fonde l'emploi des couples : les théories t vantes en montreront l'usage.
Il faut d'abord choisir le moyen le plus simple pour déterminer chaque couple en particulier, de manière qu'il ne puisse être confondu avec aucun autre. Pour la détermination d'une force, on donne son point d'application, sa direction et son rapport à une force particulière, pi'ise pour unilé : voyous ce qu'il convient de donner pour la détermination d'un couple, sans s'occuper aucunement de l' effet qu'il produirait sur le corps auquel il serait appliqué.
La première chose à faire connaître, c'est le plan dans lequel se trouvent les deux forces qui forment le couple; ensuite la position et le sens de chacune des deux forces dans ce plan. Mais ces données peuvent être remplacées par d'aulres beaucoup plus simples. Pour faciliter le langage, nous appellerons bras de /évier d'un couple une perpendiculaire abaissée d'un point quelconque de l'une des forces sur l'autre, et nous prendrons ses extrémités pour les points d'application de ces forces.
49. Cela posé, on démontre facilement que, quel que soit l'effet d'un couple, il ne sera pas changé si on le déplace d'une manière quelconque dans son plan, en j faisant
prendre à son bias de levier une posilîon et une direction aibîlraii-es, pourvu qu'il soit lié invariablement à sa position première. On démontre en second lieu que l'effet sera le même si l'on transporte ensuite le couple parallèlemenl à lui-même, dans un plan quelconque parallèle au premier, pourvu lonjours que dans sa nouvelle position son bras de levier soit lié invariablement à la précédente.
La conséquence à tirer de là, c'est <ju'il est inutile de donner le plan même dans lequel se irouve le couple, mais seulement un plan quelconque qui lui soit parallèle; et dans ce plan on peut prcudre telle position qu'on voudra pour le bras de levier donné, en ayant soin que les deux foices perpendiculaires à ce bras soient dans des directions qui permettent la coïncidence des deux couples, par un simple déplacement dans le plan.
50. La détermination de cette dernière condition tout à fait indispensable, se fera au moyen de l'image suivante.
Supposons qu'on fixe le milicvi du bras de levier qui pourra prendre diverses positions autour de ce point, et qu'un obscrvaieur se place dans la perpendiculaire menée par ce point en appuyant ses pieds sur le plan. Imaginons ensuite que le bras de levier tourne de manière que chacune de ses extrémités se déplace dans le sens où elle est tirée par la forte qui lui est appliquée. L'observateur verra ce déplacement s'elFectuer de sa gauche vers sa droite, ou de sa droite vers sa gauclie. Mais s'il se plaçait sur le prolongement de la perpendiculaire, de l'autre côté du plan, sur lequel il aurait toujours les pieds appuyés, cette même rotation lui apparailraii en sens inverse. Cela posé, nous convenons de considérer toujours cille des deux directions de la perpendiculaire, pour laquelle la rotation paraîtra s'exécuter de gauche à droite; nous la nommerons direction de raj7erf«C0H/>/e,etle sens de celte rotatioji sera appelé c/w-ecî.
CHAPiTRË III. 49
Il suffira donc, pour !a complèLe détermînaiion d'uu couple, de faire connaître la direcliou de son axe, prise à partir d'un point arbitraire, l'intensilé des forces, et la grandeur du hras de ]L*vier.
51. Enfin ou opérera une dernière simplification en se fondant sur cette pioposiiion, rju'on peut, sans changer l'effet d'un couple, changer la force et le bras de levier, pourvn que leur produit reste le môme,
11 en résulte en effet qu'il eH inutile de connaître séparémeiU la force et le bias de levier, mais qu'il suffit d'en connaître leprodnit, auquel nous donnerons le nom ùe moment du couple. Nous le représenterons par une longueur portée sur la direction de l'axe, à partir du point arbitraire par lequel ou aura mené cet axe; nous appellerons celte longueur la grandeur de l'axe; et, en entendant ainsi les choses, nous pourrons dire :
Un couple est complètement Jétenniné par la direction et la grandeur de son axe.
JReiriarqiie. — Le moyen que nous venons d'indiquer pour User le sens d'une rotation peut, an premier abord, paraître bizarre, comme étant fondé sur la eo.'iformatiou parliculière de l'homme; et l'on désirerait peui-èlre en trouver un plus géoméiriqne. Mais ce serait se faire une grande illusion; car il n'est ni axes, ni équations qui puissent faire distinguer l'un de ces deux sens de l'autre.
Concevons, par exemple, dans un plan, deux axes rectangulaires AX, AY, et un cercle de rayon R avant son centre en A. Un poinl partant du point B de rencoiitre de ce cercle avec AX peut tourner dans deux sens dilïérenls que l'on peut faire correspondre aux valeurs d'un angle partant de zéro et prenant des valeurs positives, ou des valeurs négatives. On pourra donc bien es]irimRr d'une manière différente le sens de la rotation par laquelle le rayon
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5o DE L ÉQUILIBRE DES FORCES.
vecleui' du point commence par marcher vers l'axe des je positifs, ou vers l'axe des y négalîfs. Mais rien ne peiii caractériser aucune de ces rotations, qui ont cependai chacune une existence absolue et difl'érente. Dire qu'un dt placement se fait de AX vers AY ne détermine rien, puis que les axes peuvent avoir deux positions relatives, et lé difficulté serait de les distinguer ; ce que ni la géométrie n le falcul ne peuvent faire. Il n'y a que la conformation de l'hoinme qui puisse ici lui venir en aide; sa vue s'exerce d'un seul côté, et sa droite ne peut être confondue avec sa gauche. Lors donc qu'il dit qu'il voit un point tourner autour de lui, de sa gauche vers sa droite, ses pieds reposant sur le plan dans lequel s'effectue cette rotation, tous les hommes auront la connaissance précise du sens de cette rotation, et ne le confondront pas avec le sens contraire.
De même, la position relative de deux axes rectangulaires sur un plan, se distinguera en commençant par faire choix du côté du plan où l'on veut se placer, et en disant si la rotation qui amènerait l'axe des X positifs sur l'axe des y positifs, eji lui faisant décrire un angle droit, est directe, ou réU-Q^rade, e'est-à-dire inverse.
Dans le cas de trois axes reciangiilalres, il y a une circonstance qui ne se présente pas quand il n'y a que deux axes. Dans ce dernier cas, en se plaçant d'un côté convenable du plan, on aura les axes dans la posiliou relative que l'on voudra, et en retournant le plan des deux axes, on les ferait coïncider avec ceux qui étaient placés dans la
position inverse
ei alors les formules r
de cette position relative. Mais si l'on a deux systèmes de trois axes se succédant, les uns dans l'ordre XYZ, les autres dans l'ordre YXZ, il sera impossible, par aucun déplacement, d'amener les axes positifs de l'un des systèmes, sur ceux de l'autre, El de là pourront résulter des dilïerences dans les formules dépendantes de deux systèmes d'axes,
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suivani qu'ils seront dans le même ordre, nu en ordre inverse.
Ces deux disposilîotis possibles des ■t,j, s, qu'aiicua déplacement ou retournement ne peut amener à coïncider, ne peuvent se distinguer l'un de l'autre qu'en disant si l'observateur place dans l'axe positif des z, les pieds appliqués sur le plan xy, verrait l'axe des x nosilifs marcher vers l'axe de&y positifs, par une rotation directe ou rétrograde, qui amènerait la coïncidence des deux axes, lorsque le premier aurait lo\irné d'un angle droit.
Comme exemple de figure susceptible de deux sens impossibles à distinguer par des équalioiis ou procédés géométriques, nous citerons encore les dons hélices de même pas qui, tracées sur un cylindre, en imprimant des rotations inverses aux projections des deux points décrivants, ne peuvent jamais être amenées à coïncider. Elles sont esseiniellement différentes, et forment deux types distincts. Or il n'y a aucun moyen purement juathémalique de désigner l'un de ces deus types en particulier. On ])Ourra bien former deux systèmes d'équations qui représentent les deux types, mais tous les procédés purement géométriques seront insuffisants pour les distinguer.
Il est encore nécessaire pour cela de recourir à la même image, et de supposer un observateur placé dans l'axe, les pieds appuyés sur la base du cylindre et regardant les deux points qui s'élèvent en tournant. £n indiquant le sens dans lequel tourne la projection du point décrivant, on a l'un des types, parfaitement caraelérisé. Ces deux types, par suite de celte image même qui permet de les distinguer, ont été désignés sous le nom d'héliee dextrorsiim, et d'bélice sinistforsum.
Le règne végétal et le règne iiiiiiéjal en offrent des exemples.
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DE 1- ÉQL'ILIBRË DES lORCES.
COMPOSITIOM 1
52. i" Cas où les axe. sont jmrallèlos. — Si ics couples sont dans des plaus parallèles, ou les ramènera dans un même plan, on les transformera en d'autres qui auront un même bras de lewer et les mêmes moments respectifs que les couples donnés, puis on amènera tous ces bras de levier à coïncider. 11 est visible alors que toutes les forces se réduiront à deux égales et contraires formant un couple ayant le bras de levier commun, et pour valeur des forces qui le forment, la dîflérencc entre la somme de toutes celles des couples dans un sens, et celles des couples de sens contraire, et agissant dans le sens de la plus grande somme, ce qui donne la proposition suivante :
« Des couples situés dans des plans parallèles se com- » posent toujours en un seul, situé dans un plan parallèle, I) ayant un moment égal à la dUfércnce entre la somme » des moments des couples agissant dans un sens, et la » somme des moments des couples de sens contraire, et » agissant dans le sens de ceux qui donnent la pins forte
Cette proposition peut s'énoncer plus simplement connue
« Pour composer des couples dont les axes sont paralli Icles, il suffit de transporter en un même point tous ces
» axes qui seront alors en ligne droite, de faii'e la oomme u de tous ceux qui sont du même côté de l'origine corail mune, et de retrancber la plus petite de la plus grande : )) le reste représentera, en direction et en grandeur, l'axe i> du couple résultant. »
Et si, pour simplifier encore cet énoncé, on considère comme positifs les axes dirigés dans un sens, cl comme négatifs ceux qui sont dirigés en sens contraire, te qui n'est nullement obligatoire, on énoncera aînsî le tliéorèuie :
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