CHAPITRE IV

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE DE FORCES QUELCOKyUES APPLIQUÉES A UN SYSTÈME RIGIDE LIBRE.

5Z. Premièro réduclion des forces. — Toute force ajipliquée en un point d'un système rigide peut être remplacée par une force égale, parallèle et de même sens, applitfiiéfi à un point quelconque- lié invariablement au système, plus un couple dont l'une des forces sera la proposée, et la seconde passera par le point choisi. C'est ce que l'on aperçoit immédiatement en introduisant à ce point deux forces égales et contraires, parallèles à la pre-

Si l'on fait cette transformation pour toutes les forces appliquées au système, leur ensemble sera remplacé par ces mêmes forces transportées parallèlement à elles-mêmes en un point choisi arbitrairement et lié au système, plus un nombre égal de couples bien déterminés.

Or toutes les forces appliquées à un même point se réduisant à une seule, et tous les couples .i un seul, on peut donc énoncer la proposition suivante :

Des forces, en nombre quelconque, nppliqnoe.s h un corps solide, ou à un système rigide qualconqua, peuvent toujours être réduites à une force et un couple.

Celle force est In résultante de toutes les proposées transportées parallèlement à elles-mêmes eu un point quelconque lié au système. Sa grandeur et sa direction sont donc indépendantes de ce point.

Les couples composants et h: couple résulta?!! dépendent du point choisi.

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56 DE l'équilibre des forces.

Si. Conditions pour que les forces appliquées à un corps solide libre, soient en équilibre. — Ces forces ciarit réduites à hhr seule force ei un couple, il est facile de voir qu'il ne peut y avoir équilibre que si cette force et le couple sont séparément nuls. En eiïel, si une force et un couple, qui ne seraient pas nuls, élaîeiit en équilibre, on pourrait, sans détruire cet équilibre, fixer un point sur la direction de celle force, qui se trouverait ainsi délroiie; il ne resterait doue pi us que le couple, que l'on peut transporter de manière qu'une de ses deux forces passe par le point fixe, qui la détruira; et il restera une force qui ne passera pas parle point fixe, et, par conséquent, d'après un des premiers principes, déplacerait le coi'ps. On arrive ainsi à ce théorème :

Théorème. — Pour que des forces quelconques appliquées à im système rigide y soient en équilibre, il est nécessaire et s'iffisant que toutes ces forcesi transportées parallèlement à elles-méme en un même point, j soient eji équilibrej et que les couples provenant de ce transport, y soient de leur côté.

Chacun de ces équilibres s'exprime généralement par trois équations; il y en aura donc six pour exprimer l'équilibre d un système rigide ; nous nous occuperons bientôt de leur formation.

Corollaire I. — Si un systi:nie de foi ces est eu équilibre sur un corps solide libre, le sj'sièinc de ces mêmes foi-ces changées de sens y sera de même.

En effet, si l'on opère sur chacun de ces deux systèmes la réduction que nous venons d'indiquer, en prenant le même point pour y transporter les forces, on aura en ce point, pour chacun des systèmes, des forces égales et opposées qui donneront deux résultantes égales et opposées, et des couples qui auront respectivement les mêmes plans.

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les mêmes moments, mais des sens coiitraiics : les axes de ces couples seront doue respectivement égaus cl directement opposés. Les axes des couples résultanis seroiil donc de même grandeur et de sons directement enntraire.

Cela posé, s'il y a équilibre dans l'un d'eux, la force résultante et le couple rcsullant seront nuls séparément; ils !c seront donc dans l'antre, qui sera par conséquent ansi^i en équilibre.

ConoLLAiitE II. — .5'/ un gjoiijif rli: J'orcefi IS peut c.ii remplacer un autre A sur un corps sufùie, rècipraquemeni A poun-n remplacer B.

En effet, d'après l'hypotliése, B et — A se feraient équilibre sur le système (le signe — étant mis devant le groupe pour indii]ucr un groupe composé de forces directement opposées ;i celles de A, comme nous en avons déjà prévenu au ii° 20), et par conséquent, d'apièsce qui vient d'êlre établi, A et — lï seraient en ctjuililjre : donc A peut remplacer B.

Corollaire III. — Si, <ians un système fie forces en équilihro sur un corps solide, on peut supprimer un groupe de forces sans détruire V équilibre, ce group;: appliqué seul y serait en équilibre.

En effet, soient A et B les deux groupes qui composent le système donné, et supposons qu'on puisse supprimer B sans Iroubler l'équîbre, c'est-à-dire que A seul serait en équilibre, et par snile — A, d'après le Corollaire I. Or, — A étant en équilibre sur le système, on pcul supprimer A du système AB sans troubler l'équilibre, par suite B appliqué seul serait en équilibre. l\ en résulte que — B V serait aussi.

Et réciproquement, si un groupe M appliqué seul i\ un corps solide y est eu é<[uilibre, on pourra le supprimer dans tout système de forces en équilibre sur ce corps, dont 11 ferait partie. Car il suffit pour cela que — M soit en

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58 DE l'éqkilïbee des fobces.

équilibre, sonl sur le système ; ce qui est en effet, puisque

M y esr.

Corollaire J\ . — Si liansun système de forces en équilibre sur un corps soliiie, on petit inlrodidrc un groupe A sans rompre cet état, ce groupe nppliipié seidy serait en équilibre.

En effet, on peut commencer par introduire les deux groupes A et — A. Or, supprimer ensuite — A, c'est comme si l'on avait inlroduil A seul, ce qui, par hypothèse, ne détruit pas l'équilibre. La suppression de ^ A ne détruira donc pas l'équilibre existant; donc, d'après le troisième corollaire, ce groupe serait en équilibre s'il était appliqué seul sur le système. Le groupe contraire A y est donc aussi ; ce qu'il fallait prouver.

ConoLLAiRE V. — Sides forces sont en équilibre sur un système non rigide, et qu'on puisse introduire un groupe A sans rompre cet état, ce groupe serait en équilibre sur le même système rendu rigide.

En effet, les premières forces en équilibre sur le système non rigide y seraient encore si l'on rendait ce système entièrement rigide ; et le système non rigide étant en équilibre après l'introduction de A, il en serait encorede même de ce système rendu rigide. Or ce dernier état de choses est celui qne l'on obtiendrait en introduisant A dans le système rigide auquel seraient appliquées les premières forces, et qui serait en équilibre; et cette introduction ne rompant pas l'équilibre, le groupe A, appliqué seul sur le système rendu rigide, y serait en équilibre : ce qu'il fallait prouver.

Corollaire VI. — Si l'on peut supprimer un groupe A sur un système non rigide en équilibre., sans détruire cet état, le groupe A serait en équilibre., appliqué seul sur le système rendu rigide.

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En effet, la suppression de A équivaoi à l'inlroduclioQ de — A, Or,ceiletiilrodnction ne Iroublaiitpas l'équilibre, par hypothèse, îlsuitdu corollaire précédent que le groupe — A serait en équilibre s'il était appliqué seul sur le système rendu rigide. Il eu serait donc de mùme du A: ce qu'il fallait démontrer.

CONDITION roUK QU UN SYSTEMS DE l-ORCES APPLIQUÉES A UN CORPS SOLIOE AIT UNE KÉStJLTA^TË.

53. Pour qu'nn système de forces non en équilibre soit réductible à une force unique, il est nécessaire et suffisant qu'en introduisant une certaine force il y ai t équilibre. Car, si le système proposé peut être remplacé par une force unique, il serait eu équilibre si l'on introduisait une force égale et contraire ; et réciproquement si le système proposé est mis on équilibre par l'introduction d'une certaine force S, ce qui entraîne qu'il y ait équilibre entre le système contraire et — S, il s'ensuit que — S peut remplacer le premier système (n" 20), et, par conséquent, ce dernier a une résultante — S. Ornous avons vu que tout système de forces appliquées à un corps rigide, peut être réduit à une force et un couple: il est donc nécessaire et suffisant que celte force et celle que l'on introduira détruisent le couple. Or ces deux forces peuvent toujours se réduire à un couple et une force; et il faut que cette dernière force soit zéro: car, sans cela, il faudrait qu'elle fût en équilibre avec le couple résultant des deux autres, ce qui est impossible. Les deux forces doivent donc former simplement un couple; et ce couple doit détruire le couple résultant. Il doit donc être dans un plan parallùle à celui de ce dernier; et, par conséquent, la résultante des forces transportées en un même point doit être parallèle au plan du couple résultant, et ne pas èlre égale à zéro. Et réciproquement, s'il ca est ainsi,

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()0 DE l'équilibkf. dps roncES,

il existera évideinment une forcu qui forniora avec la rusullanlc un couple ayant son plan parallèle à celui du couple résultant, 1c même moment et le sens contraire, el les «Jctruira par conséquent; d'où il résulte que le système des forces sera rétluclible à une force unique. Ou obtient ainsi la proposition suivante :

Pour que des fortes appliquées à un système

rigide

aient nntt rcsuha}ile,il est nécessaire que ces forces

, trans-

portées en un inéine poinl^ ilonneiit une rcsultaiiK

:,,aral.

lè.lo au plan du couple résnlnml.

ÉQUATIOKS n'f.QlirLlBEE o'on SYSTl.ME QDELCOBQLE DI

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