APPLIQUÉES A ER COUPS SOLIDE LIERE
56. ÎSous avons montré que, pour que des forces quelconques appliquées à un corps solide fussent en équilibre, il était nécessaire et suffisant que toutes ces forces, ti'ansportées parallèlement à elles-mêmes en un point quelconque lié au corps, donnassent une résultante nulle, et que le moment du couple résultant fût aussi nul. Il ne s'agît plusque d'exprimer ces conditions par des équations. Nous prendrons, pour plus de généralité, un système d'axes de coordonnées obliques.
Désignons les forces données par
s de leurs points d'appHc
Niius choisirons Toiiginedes coordonnées pour le point où les forces seront transportées parallèlement à ellesmêmes, en vue de réduire le système s\ trois forces suivant les axes en trois conples suivant les plans coordonnés.
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Mais, pour calculer plus facilement les niomcnls de ces trois couples, lious coniiiiencerons par décomposer chaque force, en son point mêine d'application, en trois forces parallèles aux axes, et ce sont ces composantes que nous transporterons à l'origine où elles se irouvei'ont dirigées suivant les axes mêmes. Ces composantes seront les mêmes que si l'on avait transporte les forces P, P', ... à l'origine, et qu'on les eût ensuite décomposées suivant les axes; mais il sera bien plus facile de ca'cnler les moments et de reconnaître !e sens des couples composants situés dans les plans des axes. Prenons l'une quelconque, P, des forces données, cl désignons par X, Y, Z les trois composantes parallèles aux axes, et appliquées au nième point M que la force P. La composante Z sera remplacée par une force égale el do même sens, située dans l'axe AZ, et pai dans leplaiiZA.M, qui pourra être décomposé e pies situes dans les deux plans coordoi suivant AZ. En agissant de même pour la on aura deux couples situés dans les dci pent suivant AY; et enfin la composan couples situés dans les deux plans qui se coupent suivant l'axe AX ; de sorte que chaque plan coordonné contiendra deux couples, dont il faut calculer le moment et reconnaître le sens. Les formules que nous allons obtenir seront générales, sous une forme unique, aux mêmes conditions que dans tout ce qui précède ; c'cst-à-dirc en regardant : les coordonnées ,r, y, z comme positives quand elles sont de même sens que les directions respectives AX, AY, AZ ; les forces parallèles dans un même plan comme positives ou négatives, suivant qu'elles sont dirigées dans le sens des actes positifs ou en sens contraire ; et les moments comme positifs ou négatifs dans un même plan coordonné, suivant qu'ils seront dans le sens direct ou létrograde pour un ob-
■ un(
■:ouple situé
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nposante Y,
plan:
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Xdc
mnera deux
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scrvaieur situé du même côlé de ce plan que i'axc des coordoauées qui iic s'y trouve pas.
D'abord, les forces dirigées snivaiil les axes se réduiront à [rois, ayant resiK-ctivenienl pour expressions les sommes algébriques
^^. Sï. E^-
Soient mainfenaiil Q le point où la composante Z en M perceleplai, xj ; AS, AT, l'xet Ij de M ou de Q (/§■. 4) ;
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le toupie dont les deux foices Z soJit appliquées en A et Q est celui qui proviendra de la composanle Z sur A ; cl si en Zou introduit deux forces, Z, — Z,qai se détruisent, on aura, au lieu du premier couple, deux couples ayant Z pour forces, fcl l'un dans le plan zx, ayant pour bras de levier oblique AS ou X, l'autre ayant pour bras do levier oblique QS, cl qu'on peut transporter dans le plan parallèle zy, où son bras de levier sera AT ou r. Et l'angle de la force et du bras de levier de cliaeun de ces couples est pr^ciséluenl celui des deux axes dans le plan desquels il se trouve.
CHÂHTRE IV. 63
Ou obtiendra semMablement les couples [iroduJis par les deux autres composantes.
En supposant d'abord les trois coordonnées x, r, z et les composantes X, T. Z dirigées dans le sens des axes positifs, la force P, pour la somme di-'s mojnents des deux couples, sera :
Dans le plan YZ,
(jZ-zY)sinj.;
Dans le plan ZX,
Dans le plan XY,
(,/.-Y-jX)sin^j.
Or on reconnaîtra, par une diseussion irès-siniple, que, quelles que soient, les directions des coordonnées et des eomposanles, les expressions préeédeules représenteiont toujours, en grandeur et en signes, les moments des couples fournis par la force P, à la condition que les coordonnées et les composantes seront regardées comme positives quand elles seront dirigées dans le sens des axes, et eoniine négatives dans le sens contraire; et que les moments positifs correspondront au sens direct des couples, et les moments négatifs au sens inverse. El tout cela csldémoniré à la condition que les opérations sur toutes les quantités négatives seront exécutées suivant les règles démontrées dans le cas des polynômes. Il n'y a donc aucune question à faire à cet égard, celte manière d'opérer étant la condition de la généralité, qu'oii peut ne pas ïotiloii', maïs qu'on ne peut obtenir qu'à ce prix.
Maintenant, si l'on fait la somme algébrique de toutes les expressions analogues que fournissent les autres forces P', P", . , . , on aura, eu grandeur et en signes, les moments des couples résultants dans les trois plans coordonnés. Et comme
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6,\ i>i: l'équilibre des touces.
des coupliîs situés dans Irois plans qui n'ont qu un point commun, se composeraient toujours en un scn! dont leraomcnlne serait pas nul, il est nécessaire, pour l'équilibre de l'ensemble des couples, que les trois nioincnls résulfanl soient séparément nnls.
De plus, pour que la résultante des forces soit nulle, il i'aut que ses trois composantes suivant les ases, le soient séparément. Les conditions nécessaires et sufiisanles de l'équilibre des forces données, seront donc exprimées par les six équations suivantes, dans lesquelles nous avons supprimé les facteurs inutiles sin^z, sinzj;, siuxy :
Si les axes sont rectangniaijes, ics équations deviennent
Ces trois dernières équations peuvent être énoneces d'une manière qu'il n'est pas inutile de reconnaître. Si, par le point quelconque d'application de la force P, on mène un plan perpendiculaire à AZ, qui coupe cette ligne en O, et qii'on décompose la force en une force parallèle à
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