CHAPITRE IV

cet axe et une autre Q, située dans le plan perpendiculaire, la première sera Pcosy, et la seconde Psiny sera la résultante des forces Pcosa, Pcosê, parallèles à AX, AY, Le momenl de cette force Q par rapport à 0, que l'on appelle aussi le moment de la forci: P par rapport à AZ, sera donc la somme algébrique des momenis des deux autres, ou

P(..cose^jcosa);

ce qui est le couple relatif à la force F, estimé suivant l'axe des s. D'où l'on voit que les trois dernières équations d'équilibre expriment que les somine.i des moments de toutes les forces par rapport à trois axes rectangulaires sont séparément égales à zéro.

On peut remarquer que la distance du point O à la force Q n'est autre chose que la distance de O au plan mené par la force P parallèlement à l'axe des s ; c'est donc la plus courte distance de la force P à cet axe. De sorte que le moment d'une force par rapport à un axe est le produit de la plus courte distance de ces deux droites par la composante de cette force perpendiculairement à l'axe.

i FOBCES SONT DAHS UN MÈME PLAH,

57. Si, pour plus de simplicité, on prend ce plan pour celui des x ely, on aura, pour toutes les forces,

î — o, Z = o; les équations (i) et (a) se réduiront donc aux suivantes ;

OU, si les axes sont rectangulaires,

(6) 2p""=o, '^eme=o, 2P('oo,e-jcos^)=o.

Ce cas particulier peut être traité directemeat, en sui-

66 DE l'équilibre des FoncES.

vant la raèine marche que dans le cas général : c'est même ce qu'il convient de faire pour les commençants. On arrive ainsi immédiatement aux équations (5) ou (6).

La troisième des équations (6), qui exprime que le couple résultant a un moment nul, peut être mise sous une autre forme qu'il n'est pas inutile de connaître. 11 suffit, pour cela, de transporter les forces elles-mêmes à l'origine, sans les décomposer à leur point d'application : le couple qui proviendra du transport de l'une quelconque des forces aura pour moment le produit de cette force par la perpendiculaire abaissée de l'origine sur sa direction ; le sens de ce couple sera direct si la force tend à faire tourner le système dans le sens direct autour de l'origine supposée ibie, et inverse dans le cas contraire. En désignant ce produit sous le nom de moment: de la force par rapport à Vorigine, et en le regardant comme positif, quand le sens est direct, et comme négatif, quand le sens est rétrograde, la condition d'équilibre des couples s'énoncera ainsi :

La somme algébrique dts moments des forces par rapport à un point ffuelconqiie du plan, doit être égale à

CAS oo TOUTES LES roitcEs soht ■patiAILeles.

Dans ce cas, les rapports — > —: -5- sont les nièmes pour

toutes les forces. Si nous les désignons par a, h, c, les é<[uations (1), (-i) deviendront :

Les premières

„„,imiJeme„t

Les secondes ou

•2pr=s2p.,

Il fau[ Diaintenant distinguer deux cas, suivant que l'on voudra que Téquilibre ait lieu, quelle que soit la direction des forces passani toujours par les mêmes points d'application, ou bien que la direction de ces foices soit donnée et invariable.

1° Uans le premier cas, deux des rapports a, b, c sont indéterminés, a et è, par exemple. La troisième des équations (7) exige alors qu'on ait^P^ =: o, ^Pj' =: o, et

les deux autres donneront alors N'Pz^o. Les conditions d'équilibre, dans cette hypotlièse, seront donc, comme nous les avons déjà trouvées,

a" Si l'équilibre doit avoir lieu pour une direction déterminée des forces, a, h, c sont de^ nombres donnés invariables. Les deux premières équations (y) donnent

et la troisième en est une conséquence. Les conditions de

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rc'<juilibre se réduisent donc, dans ce cas, ;'i

(8) Vp = „, ^V.^t^l.. 2l'^=*2'"i

si l'on preiiaîL l'ase des s parallèle aux forces, on aui

elles équations deviendraient

2;p-o, ^p-^^o, 2pj=o,

comme nous les avions trouvées précédemment.

3" Si ces forces parallèles étaient dans un même pSan ayant pour équation

z = ax + @j- + 7,

on aurait

c— ao + ei, et les équations (8) deviendraient

qni se réduisent à une seule.

Les équations d'équilibre seront alors, comme nous les avons trouvées précédemment,

CALCLL DE LA HKSULTAKTE DE FORCES AFPI-IQCÉES A l'N