CHAPITRE IV, 6g
X, Y, Z seront les composantes de la rcsultaute des forces données, transportées à l'origine.
Soient — X,, — Y,, — Zi, en grandeur et en signe, les composantes d'une force inconnue qui ferait équilître aux fojces données, et par suite Xi, Y;, Zi les composantes de ]a résultante si elle existe, et soient x,, yi, z, les coordonnées de son point d'application; les six équations de l'équilibre seront
2(7'Z'-^'Y')-ir,Z,-^.Y,)-o,
2{.'^'Y'-yX')-(:r,Y,-j.X,)-o.
Représentant par L, M, N les trois sommes qui sont dans ces équations, elles deviennent
Pour qu'il y ait équilibre, il est nécessaire et sudisant que l'on puisse satisfaire à ces six équations par des valeurs données à Xi,j't,Zi, X,, Yi,Z,, et alors il y aura une résultante qui sera la force opposée à celle qui établira l'équilibre.
Les équations (1) donnent
ee qui exprime que les composantes de la résultante suivant les axes seront les sommes des composantes des forces données.
Les équations (a) expriment que les moments des trois couples fournis par la résultante, sont égaux à la somme de
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ceux que fournissent toutes les forces. Elles feront connaître ^iijfit ^i7 mais elles ne seront pas toujours compatibles. En effet, si l'on multiplie la première par X, la seconde par Y, la troisième par Z, et qu'on les ajoute, ou aura
(3) LX + MT + ÎSZ = o,
équation entre des quantités connues, et qui est une condition nécessaire pour la possibilité de l'équilibre. Elle serait insignifiante si les trois quantités X, Y, Z étaient nulles; mais alors on ne multiplierait pas les équations (a) par o, et elles se réduiraient à L ^ o, M ^i:^ o, N =: o, qui indiqueraient que le couple résultant serait nul; et le système
1 eqi
ilibre
Ecartant donc ce cas, l'équation (3) subsiste comme conséquence des équations (i), qui se léduiseut à deux seulement.
Les quantités Xi,j,, z, ne seront donc pas déterminées, et comme elles satisfont a deux équations du premier degré, le lien des points qu'elles construisent sera une ligne droite. Tous les points de cette droite pourront donc être pris pour le point d'application de la force qui fait équilibre, et par suite de la résultante du système, qui lui est directement opposée.
Remarque, — Comme on a démontré que la condition pour que les forées aient une résultante, est que la résultante des forces transportées en \xn même point soit parallèle au plan du couple résultantj il s'ensuit que l'équation (3) doit exprimer cotte condition géométrique. C'est ce qu'on vérifie immédiatement dans le cas des axes rectangulaires. Car alors X, Y", Z sont proportionnels aux cosinus des angles que la résultante fait avec les axes, et L, M, N le sont au\ cosinus des angles que fait l'asc du couple résultant. L'équation (3) exjirime donc que la résultante est perpendiculaire à l'axe du couple résultant, et par cou-
CHiPlTBE IV. 71
séqueul parallèle à son plan. Dans le cas des axes obliques, il n'est pas facile de reconnaître cette signification de l'équation (3), et je ne connais aucun Traité de Mécanique où elle soit démontrée. Il est nécessaire pour cela de connaître l'équation du plan du couple résultant de trois autres, situés dans trois plans donnés que l'on prendra pour plans coordonnés. Cette équation ne se Irouvanl dans aucun ouvrage, à ma connaissance du moins, je crois utile de la donner et de la démontrer ici.
EQTIATIOM DU PLAS nu COUPLE RÉSULTABT DE TROIS COUPLES SITUÉS DANS LES PLABS COORDOSRÉS.
S9. Soient A, B, C [fig. 5) les moments des couples situés respectivement dans les plans YZ, ZX, XY. Composons d'abord les deux couples dont les plans se coupent
Fie. 5.
suivant AX; pour cola, plaçons-les do manière qu'une des forces de l'un soil dans l'axe des 2, cl une des forces de l'autre dans l'axe des y, et en changeant la grandeur des forces sans changer les moments, faisons en sorte que les secondes forces de ces couples viennent roiieonli er l'axe AX en un même point B pris à volonté.
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ya DE L ÉQUILIBRE DES FOKCES.
Supposons, pour fixer les idées, ([ue les trois couples soient dans le sens direct, et soient AC, AD les grandeurs des forces qu'il faudra appliquer au bras de levier oblique A B pour que les moments soient Bet A5 ces forces seront déterminées par les conditions suivantes :
(1} AC.ABsinj-i = B,
(a) AD.ABsinj-j^C,
dans lesquelles AB peut être choisi à volonté.
La diagonale AM du parallélogramme CADM sera la force qu'il faudra appliquer au bras de levier AB pour avoir le couple résultant des deux premiers. L'inclinaison de celle force sur AB n'est pas donnée, et par suite le niomenldu couple MABM'n'est pas donné; mais nous verrons qu'il est inutile de le calculer.
Il rcsle à composer ce eouple avec le couple silué dans le plan YZ, et dont le moment est A. Nous transformerons ce dernier, et nous le placerons de manière que ses forces soient égales à AM, et que l'une des deux soit directement opposée à AM, ce qui est possible, puisque AM est dans le planTZ, qui est celui du couple; la seconde force M"E de ce couple ME" AM, , viendra rencontrer AY en un point E, tel que l'on ait
AM.AEsinMAD = A;
MAsinMAD = ACsi
(3) AE.ACsiojs=r A,
La force AM étant détruite par AMj, il restera seulement les deux forces M''E et BM', qui formeront le couple résultant.
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Le plan cherclié est donc celui qui passerait par EB et serait parallèle à AM, ou, encore, loui aulre plan parallèle, par exemple celui qui passerait par AM et serait parallèle à EB.
Les équations de AM sont
AD
ou, d'après les équations (i) et (a), celles de EB sont
et celles de la parallèle menée par l dans le pian clierclié, seront
^ — "' ÂB"'~ÂË "
AE-' et comme les équations (i) et (3) donnent
les équations précédentes i^eviennent donc
Maintenant que les équations des di'ux droites qui déterminent le plan sont exprimées au moyen des quantités données, rien n'est plus facile que de trouver cette équation. Soit, en effet, l'équation générale d'un plan passant par l'origine, ax+ by + cz =: o.
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74 DE i.'éqxiilibre des forces.
La condilîon, pour qu'il contienne la droite (4)î S'
tl, pour qu'il coniieiinela droite (5),
Reporiani les valeurs de a et c, et supprimant !e facteur b, on a, pour l'équation du plan du couple résultant.
60. Ce système est réduit à une force dont les composantes suivant les axes sont X, Y, Z, et a un couple résultant des trois autres situés dans les plans coordonnés et dont les moments obliques sont L, M, N, et dont, par conséquent, les moments rectangulaires sont L sinjfz , Msina:2, Ksinxj'. Ces dernières expressions sont donc celles que, dans le calcul précédent, nous avons désignées par A, B, C. L'équalîon du plan du couple léiuhaMi seia donc, dans le cas actuel,
Ljî- + Wj + Nsi^ o.
Or les équations de la résullanle des forces X, Y, Z, situées dans les axis, sont
ei la condition pour que celle droite soii parallèle au plai LX + MY -H WZ = o.
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