PAR UN MÊME POIHT

63. Le transport de toutes les forces en ce point donne lieu à un couple résultant ; et son axe projeté sur une droite quelconque passant par ce point, donnant la mesure du moment du système des forces données par rapport à cette droite, il en résulte immédiatement les conséquences suivantes ;

La droite, menée suivant l'axe du couple résullant.

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donne le moment maximum. Toutes les droites qui font le même angh avec Vaxe de ce couple donnent des moments égaux. Toutes les droites situées dans le plan perpendiculaire à cet axe donnent des moments nuls.

Ces propositions sont si évidentes qu'on r rolraîl presque inutile de les énoncer. Mais, avant la théorie des couples, elles constiluaîent des théorèmes importants, dont la démonstration ne se présentait pas d'elle-même.

CHAflGEMEST QUE SUBIT LE MOMENT MAXIMUM VAT. LE nÉPLACEMENT nu POINT.

Si l'on déplace de A en A' le point où les forces avaient été transportées, le couple résultant produit en A' deux forces égales et opposées qui se détruiront, et la résultante se transportera en A', en produisant un nouveau couple dont le plan passera par la résultante en A et le point A', et dont le moment sera le produit de cette résuîtante par la perpendiculaire abaissée sur elle du point A'. L'axe de ce couple sera perpendiculaire à la résultante et à la droite AA'. De là résultent immédiatement les propositions suivantes :

Si le point A se déplace sur la résultante en A, le couple introduit sera nul, et Vaxe du couple résultant ne changera ni de direction, ni de grandeur.

S'il se déplace le long d'une autre droite quelconque, l'axe du couple introduit étant perpendiculaire à AA', qui est situé sur cette droite, donnera sur elle une projection nulle, et l'axe du couple résultant, quoique changeant de grandeur et de direction, donnera la même projection sur la droite; et, par conséquent, le moment du système par rapport à une droite quelconque ne sera pas changé par le déplacement de A sur cette droite. C'est ce que nous avions déjà reconnu par d'autres considérations. Supposons maîn-

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78 DE l'équilibre des forces,

tenant que le point A' prenne des positions cjuelconqiies, esuhanie en A. Soient AR (//g. 6) la direction

non s

de cette résultante, AM celle de l'axe du couple résultant, et 8 l'angle de ces deux droites. Le couple qu'il faudra composer avec AM, aura son axe perpendicnlaire à AR, et pourra prendre toutes les directions dans le plan perpendiculaire à AR5 aucune ne sera celle de AM si l'angle 6 n'est pas droit, c'esl-à-dîre si le système des forces n'a pas une résultante unique : ainsi, en exceptant ce cas particulier, la direction de l'axe du couple résultant sera différente de AM, si A' n'est pas sur AR. Les directions diverses de l'axe du conpIeRR' feront avec AM, les unes un angle aigu, les autres un angle obtus, si AM et AR n'ont pas la même direction. Les axes qui feront un angle aigu avec AM, donneront un couple résultant plus grand que AM ; ceux qui feront un angle obuis pourront donner un couple résultant plus grand ou plus petit que AM, suivant la grandeur du moment du couple RR', qui peut varier de zéro à l'infim, en changeant la distance de A' à AR. D'où l'on voit que le moment maximum relatif au point A, comparé à ceux qui correspondent aux divers axes passant par A', sera plus petit que les uns ei plus grand que les autres, si les directions AiM, ARsont différentes; mais si elles se confondent, les deux couples à composer auront nécessairement leurs

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