FARCES

et! équations

, rcspoctivemcnl

■ cosa, cosS, cosc, e

les ajoutant; o

n trouve ainsi,

en 1

?eitu Je la précédente

équation nécessaire et suffisante pour que les quatre équations puisseni avoir lieu en mêmû temps. Les trois précédentes détermineront la grandeur et le signe des composantes N cosa, NcosS, Ncosy, qui sont égales et de signes contraires à X, Y, Z, et donneront, pour la résistance de la courbe, une force égale et opposée à la résultante des forces donnéeSj comme eela devait être évidemment.

69. Système rigide quelcontjue dont un point esljïxe. — Si l'on prend le point fixe pour origine, les trois forces dirigées suivant les axes seront détruites parla résistance de ce point. Or, des couples appliqués à un système qui renferme un point fixe doivent se faire équilibre comme si le corps était entièrement libre; car, s'ils donnaient un couple résultant différent de zéro, on pourrait le transporter de manière qu'une de ses forces passât par le point fixe, qui la détruirait : il resterait donc une force qui ne passerait pas par le point fixe, et déplacerait ce système. Les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équilibre du système seront donc

2(^Z-zY) = o, ^[zX-^Z) = o, ]^(^Y~j-Sj = o.

Les couples, se détruisant indépendamment du point fixe, n'exercent aucun effort sur lui, et ne tendent qu'à rompre le système. Le point fixe n'est donc sollicité que par la résultante des forces 5!^' ^^' S^' *^^"^ résultante est égale et opposée à la force que développe ce point pour établir l'équilibre.

Un corps qui peut tourner librement autour d'un point

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fisc conslîlue lamacliine que l'on nomme levier; le point fixe se nomme point d'appui. On voit donc que l'cquilibre du levier exige que les couples qui naissent du transport de toutes les forces parallèlement à elles-mêmes an point d'appui, se détruisent d'eux-mêmes, S"îl n'y a que deux forces, il faut alors qu'elles soient dans un niûme plan avec le point d'appui, et que les deux couples qu'elles produisent soient de sens contraires et aient des moments égaux. Ces moments sont aussi les moments des forces par rapport au point d'appui.

La résultante des forces transportées au point d'appui, conslituani tout ce qui n'est pas détruit par la rigidité seule du corps, ne l'est que par le point d'appui, et forme ce que l'on appelle la charge de ce point.

Si le levier n'éiait que posé sur une surface solide sur laquelle il pourraitglisserlibrement, le point d'appui pourrait glisser de même, et il faudrait pour l'équilibre que cette résultante fût normale à la surface fixe.

70, Cas d'un axe fixe. — Si deux points du système sont fixes, tous les points situés sur la droite qui les renferme sont invariables de position, et le corps est dans le même cas que s'il était assujetti à tourner autour d'un axe fixe, dont les points seraient susceptibles d'oifrir en tous sens une résistance indéfinie. Si Ton prend cette droite pour axe des z, les trois forces dirigées suivant les axes seront détruites, ainsi que les couples qui sont situés dans les deux plans qui passent par l'axe des z, et dont les bras de levier pourraient être transportés sur cet axe même. Il ne reste donc plus que le couple résultant situé dans le plan xj, et qui ne saurait être détruit par l'axe fixe, La condition nécessaire et suffisante pour l'équilibre est donc,

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go DE L ÉQDILIDRE DES FORCES.

7'!. Pour coDnaitre les efforts exercés sur l'axe fixe, il faut composer les forces qu'il détruit. Les couples situés

dans le plan ZX et la force ^[^ se réduisent à une force qui rencontre l'axe, à moins que l'on n'ait ^X = o, auquel cas on aurait un couple seulement : il en est de même dans le plan ZY. Outre ces efforts appliqués à l'axe, il y a

encore la force \ Z, qui tend à l'entraiiier dans le sens où

elle estdirigée. L'axe produit donc des forces égales et contraires à celles-ci, puisqu'il les lient en équilibre.

Si deux points seulement du système sont fixes, les résistances ne peuvent provenir que des deux points, et l'on devra décomposer les forces qui rencontrent l'axe, en d'autres qui passent par ces points, et feront connaître les forces qu'ils produisent pour détruire celles-ci. Quant à la force dirigée suivant la droite qui les joint, elle peut être décomposée d'une infinité de manières en deux autres appliquées à ces points; et il en serait de même s'il y avait un plus grand nombre de points fixes sur la même droite.

72, On pourrait supposer que le corps eût la liberté de glisser le long de l'axe fixe, et en même temps de tourner autour de lui. Dans ce cas, l'axe détruirait toutes les forces dont la direction lui serait perpendiculaire, et n'en pourrait détruire aucune autre. Il faudrait donc décomposer chaque force qui rencontre l'axe en deux autres, 'l'une suivant l'axe, l'autre perpendiculaire. Mais alors ïl est plus simple de prendre des axes rectangulaires, et les conditions d'équilibre seront exprimées par les deux équations

2Pcos7 = 0, ^V{^co,e-yco,c.)^0.

On connaîtra la résistance de Taxe, en composant les cou-

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pies situés dans les plans ZX, ZY, et les forces dirigées suivant les axes des x et des y.

Si le corps ne pouvait qun glisser sans Tourner, l'équation 7 Pcosy= o serait sulïisanie et nécessaire, elle couple

situé dans le plan xy ferait connaître la résistance opposée par l'ase à la torsion.

La machine que l'on nomme tour ou treuil n'est autre chose qu'un corps solide qui a la liberté de tourner sans glisser autour d'un axe fixe. Ce qui précède fait donc connaître la condition d'équilibre de cette machine, et la charge que supporte l'axe.

Lorsque les forces se réduisent à deux, situées dans des plans perpendiculaires à l'aie, la condition d'équilibre consiste en ce que ces forces soient en raison inverse de leur distance à l'axe.

liemartjue. — Les deux derniers cas particuliers que nous venons de traiter donnent une interprétation, qu'il est bon de connaître, aux six équations de l'équilibre, relatives h des axes coordonnés rectangulaires. Si l'on considère trois droites rectangulaires qui se coupent en un même point, et qu'on fixe l'une quelconque d'entre elles, de manière que le corps n'ait que la liberté de glisser le long de cet axe sans tourner, les trois premières équations d'équilibre expriment que les forces données ne permettront aucun de ces trois déplacements. Les trois autres expriment que si le corps avait successivement la liberté de tourner sans glisser atitour de chacun des mêmes axes successivement, aucun de ces déplacements ne serait produit par les mêmes forces.

73. Cas oit le corps s'nppiiin sui' un plan fixe sur lègue! il peut glisser librement, — On prendra pour plan des x,y celui sur lequel le corps s'appuie par un nombre

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9^ DE t'ÉQtflLlBRE DES FORCES.

quelconque de points. Ce plan iic peut produire que des forces normales et do même sens, appliquées aux points de

contact, et les forces ont nécessairement une résulunte normale égale à leur somme. Il est donc nécessaire que loutcs les forces appliquées aux corps aient une résuliauie parallèle à l'axe des z : d"où résultent les équations

^Pcosa^o, ^Pcose^o, 2P{,rcosÊ-jcos«)=.o.

Déplus, en composant successivement le.s forces développées par le plan fixe, on reconnaît facilement que leur résultante ne peut avoir son point d'application en dehors du polygone convexe qui renferme tous les points de contact :

il est donc nécessaire que larésultante de la force 2^P cos y

et des deux couples situés dans les plans ZX, Z¥ ait son point d'application dans l'intérieur de ce même polygone, et tende à appuyer le corps sur le plan. Réciproquement, si cette condition est remplie, l'équilibre aura lieu, parce que cette résultante pourra toujours èlre décomposée en forces normales au plan, et appliquées aux divers points de contact.

Ces forcesdevronl satisfaire seulement aux trois équations donnéesparlathéoriedes forces parallèles; elles seront donc indéterminées, s'il y a plus de trois points. Si tous les points sont en ligne droite, le point d'application de la résulianle devra se trouver sur celte droite, et il y aura indétermination, lors mémo qu'il n'y aurait que trois points. Enfin, s'il n'y avait qu'un point de conlaet, il serait nécessaire qu'il fût situé sur la direction de la résultante. Cette indétermination, qui indique seulement la possibilité évidente de décomposer d'une infinité de manières la résulianle, ne signifie pas que le problème physique qui aurait pour objet de déterminer les efforts exercés sur le plan, aux points par lesquels le corps s'appuie, est indéterminé. Dans ce pro-

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CHAPITEE V, g5

blèrnc il faut leiiir compte i!e la (lexlbililé du plan cl elii corps, ei l'oH délerniîucra la pression qui a lieu en chaque point d'apiès les hypollièses qu'on fora sur l'étal élastique de CCS corps. Celte question ainsi envisagée ne donne lieu à aucune difficulté de conception ; mais le calcul en olfre qu'on ne saurait surmonter généraleineiil.

ÉQUILIBRE n UM SYSlilME HO» HIC1DE, COMPOSÉ DE PLUSIEURS SYSTÈMES HIGIDIÎS.

Ti. Lorsque toas les points d'un système ne sont pas invariablement liés les uns aux autres, on ne peut plus faire les compositions et décompositions qui réduisent toutes les forces à une seule force et un seul couple. Le principe général d'après lequel on ramène ce cas au précédent, consiste en ce qu'il est évîdfmment nécessaire et suflSsant que chacun des systèmes rigides partiels soit en équilibre au moyen des forces qui agissent sur lui, et qui se composent, tant des forces données que de celles qui naissent de sa liaison avec les autres systèmes. Cela posé, on pourra, d'après les théories précédentes, former les équations d'équilibre de chaque système rigide, dont le nombre pourra varier d'un à six pour chacun d'eus. En éliminant les forces provenaut des liaisons, on aura les équations auxquelles devront satisfaire les forces données, pour que le système composé soit en équilibre ; et les équations qui auront servi à l'élimination, feront connaître les valeurs de toutes les forces de liaison, et leurs directions, quand elles ne seront pas données immédiatement.

Dans le cas particulier où l'équilibre de chaque système n'exigerait qu'une équation, et où la communication de l'un à l'autre ne donnerait lieu qu'à deux forces égales et contraires, il est facile de voir qu'il n'y a qu'une seule équation nécessaire pour l'équilibre des forces données.

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g4 DE L EQUILIBRE DES FOItCES.

En effet, soit m le nombre des systèmes, on aura m équations d'équilibre el m — i forces inconnues, développées par la communicatiou du premier avec le second, du second avec le troisième, et ainsi de suite jusqu'au h('""^

Soient Xi, X,,. . . , X„, ces m — i forces. La première équation renfermera X, , la seconde Xi et X| , la iroisième Xî etXa, enfin la dernière ne renfermera que X,„| sans compter toutes les forces données.

Tirant Xf de la première et le reportant dans la seconde, puis Xa de celle-ci et le reportant dans la troisième, et continuant ainsi, on arrivera à une dernière équation ne renfermant plus que les forces données. Ce sera la condition unique de leur équilibre; el toutes les équations précédentes feront connaître X, , Xs , . . - , X,„i .

7o. Premier exemple, — Éqidlihre d'' un fil flexible et inextensible, sollicité par deux forces.

Les corps de la nature étant réellement composés de molécules très-petites, séparées les unes des autres par de trèspetits intervalles, la continuité géométrique que nous leur supposonsest unepurefiction, propre à simplifier les queslions.

Un fil, ou un corps aussi délié que possible, est donc une suite de molécules disjointes, retenues à des distances trèspetites que nous regarderons comme constantes, et, le plus ordinairement, égales. Il ne présentera donc pas la figure d'une ligne continue, mais d'un polygone dont les côtés pourront être considérés comme excessivement petits, et de longueur invariable si le fil est suppose inextensible.

Nous resterons dans la réalité de celle conception, lorsqu'elle facilitera les raisonnements; mais nous finirons toujours par substituer une courbe au polygone, parce que

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