CHAPITRE V

cette hypothèse simplifiera beaucoup les expressions analytiques.

On voit donc ici, contrairement à ce qui arrive ordinairement dans la géométrie, que c'est la courbe qui est la iiction, au lieu que ce soit le polygone.

Voyons maintenant comment un pareil système peut être en équilibre, lorsque deux forces sont appliquées à ses estrémités. Or, l'équilibre de chaque sommet exigeant que les côtés adjacents soient en ligne droite, le iil entier ne pourra former qu'une ligue droite. Les deux forces devront être égales, opposées et dans la direction du fil, puisque nous avons démontré que cela était nécessaire dans le cas d'un système rigide, et que l'équilibre subsisterait en rendant le fil rigide : et cela étant, il esl évident que le fil ne pourra prendre aucun déplacement. Une de ces forces s'appelle la temion dufil.

76. Deuxième exemple. — Considérons en second lieu deux leviers, c'est-à-dire deux systèmes rigides liés respectivement à deux points fixes O, O' [fig. 8 ) autour desquels

FiB. 8.

ils peuvent tourner librement, et sollicités par des forces quelconques. Un fil flexible a ses extrémités fixées en deux points Mj M' de ces corps. On demande les conditions d'équilibre de ce système, qui est dans une position donnée où le iil a tous ses points en ligne droite, et peut avoir une tension inconnue quelconque.

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q6 be l'équilibre des forces.

En désignant celle tension inconnue par X, le levier MO sera en équilibre sous l'aciion des forces qui y sont direclement appliquées, elde la force Xqui agit de M vers M'; il résulte de I;'i les trois équations connues, qui renferment cliacune X au premier degré. De même le corps M'O' sera en équilibre sous l'action des forces qui y sont appliquées et de la force X qui agit de M' vers M. On trouve ainsi trois nouvelles équations qui renferment encore X au premier degré.

Tirant la valeur de X de l'une de ces six équations, on connaîtra la tension du fil ; cl la reportant dans les cinq autres, on aura les équations de condition auxquelles doivent satisfaire les forces données pour que le système soit en équilibre.

77. TnOESiÈME EXEMPLE. — Considérons niaintenanl le système composé d'un levier cl d'un treuil, c'esl-à-dire d'un corps qui ne peut que tourner autour d'un axe fixe ; le premier pouvant tourner librement autour du point 0, et l'autre autour de l'axe AZ (^g'. 9). Ils sont sollicités par

des forces quelconques et se touclieni en un poinl M. On demande les conditions pour qu'il y ail équilibre, et la valeur de la pression mutuelle en M.

Désignant par X l'intensité inconnue de celle pression, le corps MO sera en équilibre sous l'aelion des forces qui

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CSAPITEE V. 97

y sont direciemcnt applic|urés et de la force X dirigée suivant MN. Il résultera de là trois équations tjui lenfermeroni X et les forces proposées.

Le second corps sera en équilibre sous l'aclion des forces qui y sont appliquées et de X qui sera dirigée de M veisN'. L'équilibre de ce corps, qui ne peut que toarnor autour d'un axe fixe, conduira à une équaiioii unique rf nfcrmanl X. On aura ainsi quatre équations, dont l'une fera connaître X, et les ti-ois autres donneront, par la substitution de cette valeur, trois équations de condition entre les quantités données.

78. QuATRifiME EXEMPLE. ^ — PrcHons maintenant pouf exemple un polygone formé par des droites rigides, dont les angles peuvent varier sans opposer de résistance, et dont les exiréinités sont assujetties à rester snr des courbes don-

SoieniABCDE (^g. lo) ce polygone-, P, Q, R, S, T

les résultantes des forces appliquées respect!' points A, B, C, D, E.

Cbacun de ces points doit être en équilibre au moyen des forces qui agissent imniédiatemeul sur lui, et de ta résistance de la courbe; et, par conséquent, la rcsuliante des forces, abstraction faite de cette résistance, doit être normale à la

Mil aux

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yo DE L ÉQtJILIBRI! DES FOUCES.

De même, chaque côté doit être en équilibre au moyen des forces de tout genre qui y sont appliquées; ce qui exige que les deux résultâmes de toutes celles qui agissent séparément en A et en B sur cette tige, soient égales et directement opposées, el, par suite, que celte direction soit celle du côté lui-même : d'où il résulte que ce côté produira deux forces égales et contraires, agissant dans la direction de celte tige.

Cela posé, désignons par X, Y, Z, TJ les forces que produisent ainsi les divers côtés du polygone. Soient n, h, c, d, e les angles que foui les directions des forces P, Q, R, S, T avec les tangentes aux courbes données, considérées dans des sens déterminés ; «, «' les angles que les directions des deux forces X font avec les tangentes en A et B; S, @' les angles des forces Y avec les tangentes en B et C ; et ainsi de suite.

L'équilibre du point A donnera la condition

Pcosfl H-Xcosit = o.

L'équilibre du point lî donnera

Xcosk' ^- Qcos^' + Ycosê = o, cl l'on trouvera de même pour les autres poiuls Y eosS' -1- R cosi; -i- Z cos-/ = o, Zeos7'+ Scos^/+Ucos5=o, UcosJ' 4-Tcose = o.

Éliminant X, Y, Z, U entre toutes ces équations, il en reste une seule entre les forces données, qui sera la condition d'équilibre du système. Les autres feront connaître les intensités des forces X, Y, Z, U.

Quant au sens dans lequel elles agissent, et qui n'est pas connu d'avance, il sera déterminé par les signes que devront avoir les cosinus des angles a, a', 6, ë',. . . Ainsi,

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