CHAPITRE V. gj
la première equatinn, faisanl connaître le signe de ces*, détermine le sens de la force X, provenant de la tige AB et agissant en A ; d'où résulte le sens de la seconde force X, appliquée en B, et par suite le signe de cosa'. La seconde équation fera connaître ensuite le signe de eosS, d'où résultera le sens de la force Y agissant en B; et ainsi de suite jusqu'au dernier côté.
79. Si l'une des tiges était normale à l'une des courbes, il en résulterait des conséquences particulières qu'il est bon de remarquer. Supposons, par exemple, que BC soit donnée normale à la courbe en B, on aura
cns @ = o, et les deux premières équations donneront, par l'éiimination deX, une équation de condition, qui ne sera autre que la condition d'équilibre des deux forces P et Q, qui seraient appliquées à la tige unique AB, dont les exirémilés seraient liées aux deux premières courbes. Cela devait être, en effet, puisque la force Y, étant détruite par la résistance de la courbe en B, doit être regardée comme n'existant pas pour les points situés du côté de B que l'on considère.
Les trois autres équations donneront, par l'élimination deZ etU, une équation qui sera celle de l'équilibre du système C, D, E, considéré isolément, eidans lequel il y aurai tune force indéterminée Y agissant en C suivant la ligne BC, dans l'un quelconque des deux sens, et qui ser.i déterminée par celte équation. En effet, celte tige BC peut èlre sollicitée par une force quelconque en 0 dans le sens de sa longueur, sans qu'il en puisse résulter aucun déplacement, vu qu'elle sera détruite par la résistance de la courbe à laquelle elle sera nornjale en B.
80. CiMQUiÊME EXEMPLE. — Consîdérons maintenant un système de points liés entre eux par des fils flexibles et
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DE l'équilibre des forces.
blés, et forniaiil ce que l'on appelle un polygone funiculaire. Dans ce cas, les systèmes rigides partiels se réduiseiii a des points. Soient A, B, C, 0 (Jîg. ii) ces poiius; U, P, Q, R, S, V les forces qui y sont appliquées,
et dont les deux extrêmes U, V agissent par l'intermédiaire des fils ou cordons AU, DV.
Pour que ce système soit en équilibre, il faut que chacun des points A, B, C, D, soit en équilibre au moyen des forces qui y sont appliquées. Ainsi, par exemple, le point B est sollicité par trois forces qui sont les efforts exercés par les cordons BA , BC, el la force Q; ces trois forces devront donc être dans un même plan, et chacune d'elles proportionnelle au sinus de l'angle des deux autres. Mais l'équilibre de chacun des cordons exige encore qu'il soil tiré par des forces égales et contraires, et dont l'intensité est la tension du cordon. Au moyen de ces conditions, on pourra déterminer les tensions de tous les cordons, et les rapports des forces entre elles, lorsque l'on connaîtra la figure du polygone en équilibre.
81, On peut déterminer très-siniplement la tension T d'un cordon quelconque CD, en observant qu'il y a équilibre entre celte force T et la partie du système qui est située d'un côté quelconque de CD. Considérons, par exemple, les forces U, P, Q, R et T ; elles ne cesseront pas d'être en équilibre si l'on rend inflexible le polygone ABC ; et, par conséquent, la force T est égale et opposée à la résultante
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des forces U, P, Q, R; et comme on peut transporter des forces en un point quelconque de leur résultante, sans changer leur effet, on obtient le théorème suivant :
La tension d'un cordon quelconque est la résultante de toutes les forces situées d'un même côté de ce cordon, et transportées parallèlement à elles-mêmes en un quelconque de ses points.
82, Lorsque le polygone est en équilibre, il y sera encore si l'on rend sa figure invariable ; et, par conséquent, toutes les forces extérieures qui y sont appliquées, doivent satisfaire aux conditions d'équilibre d'un système rigide. Si donc on les transporte parallèlement à elles-mêmes en un même point, elles doivent donner une résultante nulle, ce qui donne trois équations.
Réciproquement, si ces conditions sont satisfaites, on pourra donner au polygone une figure telle, que les forces, données de grandeur et (.le direction, s'y fassent équilibre.
En effet, plaçons arbitrairement le point A, et donnons.au cordon A6 la direction opposée à la résultante de U et P, et une tension égale à cette résultante. Donnons ensuite au cordon BC une direction contraire à la résultante de la force Q et de la tension du cordon AB, et une tension égale à cette résultante; et continuons ainsi jusqu'au dernier sommet D : la direction et l'intensité qu'il faudra donner à la force qui tiendra ce point en équilibre, seront telles, que le polygone entier y soit lui-même; elle sera donc égale et opposée à la résultante des forces U, P, Q, R, S, transportées en D, et, par conséquent, sera la force donnée V. On peut donc toujours donner au polygone une force telle, que des forces données de grandeur et de direction s'y fassent équilibre, pourvu que, transportées en un même point, elles s'y détruisent. Cette conséquence,
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102 DE l'équilibre des forces,
étant indépendante du nombre des côtés du polygone, aura
lieu encore à la limile, lorsque, les côlés tendant vers zéro,
il s'approchera indéfiniment de se confondre avec une
courbe.
83. Si les extrémités du cordon sont fiscs, les forces U et V ne sont plus données, et l'on peut encoie se proposer de déterminer la forme du polygone en équilibre, et les valeurs de ces deux forces.
Pour cela, on partira de la première extrémité fixe U, et l'on supposera connues les trois composâmes de la tension U; on déterminera, en conséquence, la position du point A, ainsi que les positions des autres points et les tensions de tous les cordons. Les coordonnées du point extrême du dernier cordon seront donc exprimées en fonction de celles du premier point, que l'on peut supposer nulles, et des trois composantes de la force U. En égnlanl ces expressions aux valeurs données des coordonnées du second point fixe, on aura trois équations qui détermineront ces composantes, ainsi que toutes les tensions et les positions de tous les sommets.
84. Si les directions des deux cordons extrêmes se rencontrent, les forces U, V ont une résnltante : d'où il suit que les forces P, Q, R, S en ont une égale et opposée ; et, par conséquent, lorsque le polygone est en équilibre, et que les deux extrémités sont fixes, on connaîtra l'elfort exercé sur chacune d'elles en prolongeant les cordons qui y aboutissent, puis transportant à leur point de concours les forces données, et les décomposant en deux forces dirigées suivant ces mêmes cordons. Chacune de ces composantes mesurera la tension du cordon correspondant, et l'effort qui sera exercé sur le point fixe où il est attaché.
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