CHAPITRE V. I

85. Lorsque toules les fondes P, Q, R {fig. 12) sont parallèles, il est facile de voir que tout le système est compris dans un même plan . Supposons, de plus, que l'un des

Fis. ,,.

cordons, BC par exemple, soit perpendiculaire à la direction des forces ; remplaçons-le par une lorce égaie à sa tension, et ne considérons que les forces situées d'un même côté de ce cordon. La tension d'un cordon quelconque DE est la résultante de toutes les forces situées d'un même côté et Irausporlées au point D; donc la composante perpendiculaire aux forces sera constante pour tous les cordons, et égale à la tension BC; et la composante parallèle aux forces sera la somme de toutes ces forces, depuis B jusqu'en D.

86. Lorsqu'une force sollicite un point qui est retenu par plusieurs cordons, on aura la tension de chacun d'eux en décomposant cette force en d'autres qui soient dirigées suivant tons les cordons. Il y aura indétermination si leur nombre est plus grand que trois ; et cela tient à l'Iiypothèse que l'on fait de l'inextensibîlité des cordons. C'est ainsi que nous avons déjà vu que les pressions exercées par un corps qui repose sur un plan par plus de trois points, ne sont pas déterminées individuellement. Dans la réalité, les pressions en chaque point du plan et les tensions de chaque cordon sont déterminées, parce que chaque cordon

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io4 DE l'équilibre des forces,

s'allonge, et chaque point de conlact d'un corps sur le plan cède plus ou moins. Ces circonstances, jointes aux propriétés physiques de la maiière qui les forme, fout connaître chaque^ force en particulier; mais ces rcclicrches sont étrangères à cette partie dn cours, et nous ne nous en occuperons pas.

87. Sixième exemple. — Equations de Vèquilibre d'un jil dont louf les points sont soumis à l'action de forces

Noua avons supposé jusqu'ici que les forces étaient appliquées à des points sans étendue, et qu'elles étaient en nombre Gni; mais, dans bien des questions, tous les points d'un corps sont supposés soumis à l'action de forces, et ces forces ne peuvent être finies, sans quoi la plus petite partie que l'on concevrait dans le corps serait sollicitée par unt; force infinie, ce qui serait inadmissible. Dans toutes les questions de ce genre, on conçoit en un point quelconque du corps un volume infiniment petit dans tous les sens, dont il fasse partie et qui tendra vers zéro, en comprenant toujours ce point; à ce volume sera appliquée une force dont la direction donnée dépend de la position du point et décroissant indéfiniment avec lui et dans un rapport dont la limite est finie et donnée. Celte limite se nomme la force appliquée au point considéré, rapportée à Vimité de vo-

D'après cela, il est clair que, si l'on donne en fonction des coordonnées des points, la grandeur et la direction de celte force, il suffira, pour avoir la force appliquée à un volume infiniment petit dans tous les sens, de considérer un quelconque de ces points et de multiplier la force appliquée à ce point par ce volume : ou aura l'expression de la force appliquée au volume, à un infiniment peiit près, par rapport à ce volume, et il en sera de même pour sa

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direction ; de sorte ([uc l'on pourra obtenir avec exa« les résultats qui ne dépendront que des limites des ra ou des SI

88. Appliquons ces considérations généralcsau cas d'un fil. Soient X, Y, Z les composantes de la force qui sollicite un point quelconque du fil, et qui est rapportée à l'unité de longueur; de sorte qu'un arc infiniment petit ds soit sollicité par une force dont les composâmes soient Xrfs, \ds, "Lds. Les extrémités du fil peuvent être fixes, ou sollicitées par des forces données de direction et d'intensité ; il s'agit de trouver les conditions de l'équilibre du système, qui n'est autre chose qu'un polygone funiculaire d'un nombre infini de cotés.

Or, dans cet état, un élément infiniment petit quelconque du filj doit être en équilibre au moyen des forces qui y sont appliquées; et réciproquement, si cela a lieu, le fil entier sera en équilibre.

Soit donc ds un élément quelconque, il ne cessera pas d'être en équilibres! l'on rend sa figure invariable. Or les forces qui le sollicitent sont les tensions extérieures exercées à ses estrémités, qui sont dirigées respectivement suivant les tangentes en ces points, et de plus les forces Xrfj, Ydi,Zrf,î.

La tension T, variant d'une manière continue en même

temps que l'arc i de la courbe, en est une fonction conli-

■ . 1 . dx dy dz . , „ . ,

nue, amsi que les cosinus — - 1 — j — des angles que tait la ^ ds lis ils ° '

tangente avec les axes. Les composâmes de la tension, considérée dans ie sens où s augmente, sont donc, aux deux extrémités de l'arc ds.

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ds \ ds j

hrf T:i^

Supposons ]fs arrs s compiés à partir de l'exlrémilé A {fig. i3}, et soit MN l'arc innnimenl petit ds. Les direc-

tions des deas forces tangentes aux points M et N se reucontrent si la courbe est plane, et elles peuvent être considérées comme se rencontrant même dans le cas d'une coTirbc à double courbure, parce que leur plus courte distance est du troisième ordre infinitésimal, ds étant du premier. Elles peuvent donc être considérées comme ayant une résultante située dans le plan osculateur, en négligeant le troisième ordre infinîlésimal. Les forces qui agissent en tous les points de MN doivent donc avoir une résultante égale et opposée à la première, et, par suite, comprise dans le plan osculateur de la courbe. Les conditions chercbées de l'équilibre sont donc celles des forces appliquées à un même point, et elles doivent exprimer que les sommes des composantes parallèles à chaque axe, sont séparément nulles. Si donc on observe que les composantes T-^, T-^f T-^ doivent être changées de signe, ds ds ds ■DO

on aura les équation:

^ds-

d{T^\+Yds = o

d{l'^\+Zds = o.

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