CHAPITRE V

Si l'on mullipliela première par-j^i la seconde par —■, la troisième par —■, et qu'on les ajoule, en observant que

rfT + X i/ic -I- Tny + Z rfî = o, équation qui pourra remplacer une quelconque des équalion. (,).

Le plus ordinairement, ^dx -\-Xdy -\-7jdz est- la différentielle d'une fonction a (jr, 1 , a), et l'on aura alors

Dans le cas où la tension T' sera connue en un point ayant pour coordonnées x', y\ z', on aura

T~r=f{x',j',z')- r^-{x,y,z), de sorte que l'on connaîtra la tension en tout autre point, en fonction de ses coordonnées; et, dans tous les cas, la différence des tensions inconnues qui ont lieu en deux points du fil, ne dépendra que des coordonnées de ces points. La valeur de T étant substituée dans deus des équations (i), on aura les équations de la courbe formée parle (il.

89. Fd sollicité par des forces normales, — Si la force dont les composantes sont X, Y, Z était normale en tous

les points de la courbe, on aurait

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lo8 DE L ÉQUILIBRE DES FORCES.

(j- (x, j)', i:) serait conslant, et, par suite, T; dans ce cas, le fil est doiie également tendu en tous ses points. C'est ce qui aura Heu, par exemple, lorsqu'il sera tendu sur une surface qui ne produira aucun frottement.

On voit donc que lorsqu'un (il s'enroule sur un corps dont la surface n'exerce sur lui aucun frottement, et que l'équilibre s'établit avec des forces en dehors de la partie enroulée, les deux cordons tangents à celle surface ont irne tension égale, puisque celle tension, ne variant pas dans touie l'étendue de la courbe de contaci, est la même à ses deux extrémités.

Il en est de même si l'une des forces données agit sur un polygone au moyen d'un fil ou d'une tige quelconque terminée par un anneau dans lequel passe le fil polygonal : les deux côlés du polygone situés de part et d'autre de l'anneau seront également tendus.

yO. La tension T étant constante, les équations (i) deviennent

as ds lis

d'oii

ou, en désignant par P la force et par R le rayon de courbure,

T' = P'R% tl'où P = ^-

Ainsi, quelle que soit la force normale, le 61 prendra une figure telle, que cette force soil en raison inverse du rayon de courbure.

D'où il suit que si la force est constante el que la courbe soil plane, elle formera un arc de cercle.

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Si la force normale est la résistance d'une surface, comme elle doit toujours être comprise dans le plan osculaleur de la courbe, ce dernier est normal à cette surface, et la courbe est celle do longueur minimum entre deux quelcoiif[ues de ses points.

91, On peut trouver, par des considérations géométriques très-simples, la valeur de la pression exercée sur la surface. Pour cela, considérons la courbe que forme le fil comme un polygone d'une infinité de côtés égaux entre eux; la résultante des tensions des deux côiés consécutifs AB, BC sera dirigée suivant la ligne BD qui divise l'angle ABC en deux parties égales, et son intensité sera

.n ^„^ ... lîG

a ligne CD étant menée perpendiculairement à BC (fg- 14) ■ Fig. 14.

-Tr

Si l'on représente par R le rayon du cercle qui passe par les trois points A, B, C, el qui n'est autre eliose, à la limite, que le cercle osculaleur de la courbe, la pression sur

la surface sera mesurée parï-— ■ Lorsque BC tend vers

zéro, la pression tend elle-même vers zéro; mais si l'on considère une longueur extrêmement petite a sur le fil, les normales pourront être considérées comme parallèles, et les pressions comme égales, ainsi que les rayons de courbure, en tous les sumnieis du polygone infinitésimal qui y seront

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IIU de: L EQUILIBRE DBS FORCES.

compris : la somme de ces pressions sera donc toujours sensiblement égale à -5-5^60, ou à --^, R étant le rayon de

courbure en un quelconque des points de l'arc a. Ainsi; la valeur de la pression normale produite par le fil sur la surface, dans une étendue inliniment petite ds, est exprimée

par — -j et I on voit qu elle est en raison inverse du rayon

de courbure au point que l'on considère.

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CHAPiTRË VI.